вторник, 27 декември 2011 г.

Приказка за висшата математика II част.

...

Еволюцията на един език: Приказка за висшата математика I чат.



...



Еволюцията на точката във ФРАКТАЛ





...



„Науката е изградена от факти, така както една къща е изградена от камъни, но натрупването на факти представлява толкова наука, колкото купчина камъни представлява къща." -
Анри Поанкаре


...



Смисълът на математиката е в откриването на закономерности и решаването на задачи, а великите неразрешени загадки вдъхват живот на тази наука.

По време на втория математически конгрес, проведен в Париж през 1900 г., Давид Хилберт представил 23 нерешени от математиците проблема.

Според него те щели да определят целите на математиците през ХХ век. Систематизирайки нерешените проблеми в математиката, Хилбърт имал за цел да даде стимул на математиците на XX.век.

Една цел на Хилберт, която личи и от разнобразието на областите, в които са поставени проблемите е да постави ясно въпроса
„...предстои ли на математиката, някога това, което отдавна се случва с другите науки, няма ли тя да се разпадне на отделни частни науки, представителите на които едва се разбират помежду си и поради това, връзките между които стават все по-малко... " Хилберт не отговаря на поставения въпрос, а възкликва емоционално: „ Аз не вярвам в това и не го искам!"

Това, от което се е страхувал Хилберт -разпадането на математиката на отделни науки, не стана факт. Но страховете на Хилберт не са безпочвени.

Разпадането все повече характеризира математиката от онова време. С бурното й развитие през деветнадесети век постепенно се оформят големи и трудни за изучаване области - алгебрична теория на числата, диференциална геометрия, алгебрична геометрия, небесна механика, да не говорим за класическия анализ.

Заедно с това, обаче върви и друга тенденция - на обединяване на математиката.
С известно опростяване можем да кажем, че това става като идеи, средства и резултати от едни раздели се пренасят в други раздели.






Нека да посочим примера, който дължим на гения на Риман - чрез римановата дзета-функция да се изследва разпределението на простите числа. Но в обединяването на науката, не по-малка, а може би по-голяма роля играе умението да се намира общ произход на обекти изглеждащи доста различни.
Начинанието на Хилбърт успява.
Хилбъртовите проблеми дефинират математиката на съвременния свят

Ето таблица, в която са изброени подробно 23 – те проблема, заедно с указания за това кои са решените към момента.
Моля, обърнете внимание на проблем N 6.

Заслугата за това математеката да остане единна, като намери универсални средства за разбирането на проблемите й чрез обединяване на тези проблеми, т.е. намирането на по-общи постановки, а оттук и за бурното й развитие, принадлежи на серия блестящи умове.

Много математици приемат предизвикателството на Хилбърт.
Разказът, за това, кои математици как са третирали или как са преборили „Хилбъртовите проблеми” се превръща в история на математиката на XXв.

Ние трябва да съсредоточим своето внимание главно не толкова върху сходствата и различията, колкото върху тези аналогии, които често се скриват в изглеждащите различия" , пише Поанкаре в книгата си Наука и метод" .

Първият Хилбъртов проблем се родил в източна Германия – в град Хале.
Великият математик Георг Кантор първи успял да разкрие загадката на безкрайността и да я дефинира математически.

Никой преди Кантор, не е разбирал понятието безкрайност, още повече да го е дефинирал математически.

Концепцията за безкрайността е променлива, което я прави трудна за дефиниране. Объркващо е да мислим за безкрайността, защото колкото повече се задълбочаваме, толкова повече данните се трупат ли не трупат и губим представа до къде можем да стигнем.

Математическите въпроси обикновено възникват и се развиват чрез взаимодействие на много изследователи.

С концепцията за безкрайността, математиците са се борели още от 5-ти век пр. н. е.
Още гръцкият математик Зенон от Елея на Запад и ранните индийски математици на Изток. По-късно, през първата половина на 19-ти век, особено забележителна е работата на Бернард Болцано.

Първите разработки свързани с теорията на множествата принадлежат на този чешки философ, математик и теолог. В труда си „ Парадоксите на безкрайното“ публикуван през 1851 г. Болцано развил теорията за безкрайните множества. Доказал известната теорема Болцано-Вайерщрас като показал, че всяко ограничено безкрайно множество има поне една гранична точка.

Съвременното разбиране за безкрайността започва през 1867-71, с работата на Кантор свързана с теорията на числата.

През 1870 г. Георг Кантор разработил програма за стандартизиране на математиката, в рамките на която всеки математически обект представлявал определен тип множество, но теорията на множествата добива популярност през 1874 с така известния доклад на Кантор.

Кантор направил безкрайността разбираема. Нещо повече, твърдял, че няма само една безкрайност, а безброй безкрайности.

Опростено казано, Кантор сравнявал различни безкрайни редици числа.
Напр. редицата числа 1,2,3,4,5 и т.н. , с тази от 10, 20, 30, 40 и т.н. , която на пръв поглед изглежда по-малката. Кантор доказал, че двете безкрайни числови редици, всъщност са еднакво дълги, защото образуват двойки.

Ами дробите?
Има безкрайно много дроби в състава на целите числа.

Дали безкрайността на дробите е по-голяма?
Кантор намира начин, по който свързва целите числа с безкрайно множество дроби. Подрежда всички дроби в безкрайна мрежа.




В първата редица са цели числа – дроби със знаменател 1.
На втори ред са половините дроби със знаменател 2 и т.н. всяка дроб намира своето място в мрежата.
Кантор прекарва мислена линия, която минава диагонално и показва, че ако се изправи тази линия се свързва всяка дроб с едно от целите числа. Това показва, че безкрайността на дробите е същата като безкрайността на целите числа.

Дали всички безкрайности са еднакви по размер, обаче?

Кантор разглежда множеството на безкрайните десетични дроби и доказва, че тяхнята безкрайност е по-голяма.

Опитал ли се някой да изброи всички десетични дроби, Кантор можел да го контрира с нова десетична дроб извън списъка.

Кантор доказва, че има различни безкрайности и различни размери на безкрайностите.
Той дефинирал безкрайните множества и доказал, че реалните числа са повече на брой от естествените. Теоремата на Кантор включва "безкрайност на безкрайностите".
Той определил кардиналните и ординалните числа, както и тяхното пресмятане.
Той е създателят на съвременната теория на множествата, която се превръща във фундаментална теория в математиката.







Кантор е вземан за чешит и не само защото страдал от маниакална депресия, поради която прекарал по-голямата част от живота си в „луксозен” санаториум за душевно болни. Въпреки несъмнения му гениален принос за математиката, неговата теория за трансфинитните числа, първоначално е смятана за не-интуитивна и дори шокираща.
Работата му срещала опозиция в лицето на множество негови съвременници. Негативното отношение от тяхна страна се смята за причината за честите депресии, в които изпадал Кантор.

Но как можем да знаем какво става със сигурност в душата на един човек, пък камо ли в душата на един гениален математик, първият, който започнал да брои не числа, а безкрайности? Един математик, който отворил портала към съвсем нов вид математика. Математика, която днес е считана за основна смяна на парадигмата.

Много от математиците са смутени от парадоксите създадени от Кантор.

Интересното е, че само те не представлявали проблем за него.

Парадоксът на безкрайността никога не стряскал Кантор.
Той вярвал, че има неща, които могат да се установят с математическа точност, обаче абсолютната безкрайност е самият Бог, плюс финалния парадокс, че това може да бъде разбрано единствено от Бог.

Но Кантор не оставя всичко в ръцете на Всевишния.
С един проблем се бори до смъртта си.






Това е хипотезата за континиуума. /вижте първият Хилбъртов проблем/

Има ли безкрайност между по-малката безкрайност на целите числа и тази на десетичните дроби?/ще се върна тук по-нататък, за да развия как се решава този първи Хилбъртов проблем - следете продълженията :)/


И макар че, Кантор среща голяма съпротива приживе, един от най-уважаваните и известни математици за времето си – гениалният Анри Поанкаре защитава и доразвива теориите му.
Поанкаре твърди, че математиката на безкрайността е красива, въпреки че е патологична.
Поанкаре е може би първият, който заличава границите между отделните математически дисциплини (без да отричам заслугите на Якоби, Риман, Клайн).

Той свободно прехвърля идеи от една област в друга, дотогава считана за съвършено различна. Преливането отива дотам, че те стават една наука.

Участието на Поанкаре в създаването на фундамента на съвременната математика е решаващо - и в определяне на централните направления на изследванията, и в създаването на съвременния универсален език, който обединява класически разделените геометрия и алгебра.







След Лобачевски и преди Поанкаре хиперболичната геометрия няма кой знае какво развитие. Тя е по-скоро екзотична област.

С модела на Поанкаре и с изследванията му (и Клайн) по автоморфни функции /вижте 22-рият Хилбъртов проблем/, тя става централен обект в математиката, какъвто е и сега.

Характерното за творчеството на Поанкаре е, че той изследва природата, иска да разбере философията на света.
Конкретните си резултати той извлича след намирането на движещия механизъм на явлението.

Така е и при автоморфните функции. След намирането на връзката с хиперболичната геометрия Поанкаре сравнително лесно получава всичко останало.


В резюме.
За целите на диференциалните уравнения е развита теория, основана на комплексния анализ, теорията на групите, неевклидовата геометрия.

Използвани са идеи от теория на числата.
Още в началото на заниманията си Поанкаре забелязва, че автоморфните функции са много полезен инструмент в изучаването на римановите повърхнини (удивително е, че Поанкаре по онова време има неособено големи познания в тази област).

Например чрез теорията на автоморфните функции се получава едно от доказателствата (това на Поанкаре) на теоремата за униформизацията.

Процесът на това откритие на Поанкаре е описан подробно от самия него в книгата му „Наука и метод" .
Там той подчертава особено много ролята на интуицията, на безсъзнателното в научното творчество.

Днес не можем да си представим математиката без автоморфните функции.

Освен в теорията на римановите повърхнини тя е съществена част и важен инструмент на теорията на числата. Теорията на представянията на групи, централна област, пронизваща природоматематическите науки от аритметиката до квантовата химия, е практически невъзможна без нея.


Ключът към развитието на най-важните проблеми на математиката на XX век,
изнамерен от Поанкаре, се появява с една интересна задача.







През 1885 г, по повод 60- годишнината на краля на Швеция и Норвегия Оскар II се обявява международен конкурс с награден фонд 2500 крони, за онзи който докаже веднъж завинаги математически, че ако СЛЪЧНЕВАТА СИСТЕМА НЕ СЕ ВЪРТИ В СТРОГО ОПРЕДЕЛЕН РЕД (закономерно подредено) то тя ще СЕ РАЗПАДНЕ ВНЕЗАПНО.

Работите на Поанкаре в задачата за трите тела стават знакови за творчеството му, както и за развитието на съвременната математика.


В основни линии задачата се състояла в следното:

Три материални (т.е с ненулева маса) точки, например Слънце, Земя и Юпитер, се движат в пространството под действието на силите на привличане помежду им по закона на Нютон. Иска се да се опише движението.

Тази размита постановка не е случайна - задачата всъщност няма строга формулировка. Изследователите сами биха могли да я допълват според интересите и силите си.
За разлика от задачата за двете тела, на която всички движения могат да се опишат детайлно и да се класифицират, тук намирането на някое движение, например периодично, вече е голям успех.

Добре е да се отбележи, че задачата съдържа практически всички трудности присъщи на механични задачи и специално на задачи за много тела.

Според изчисленията на Нютон, ако в системата има две планети, орбитите ще бъдат стабилни. Те ще се въртят една около друга в епилептична траектория.
Но ако системата е от три тела като земята, луната и слънцето напр. въпросът за стабилността на орбитите стъписва дори Нютон.






Проблемът е, че има поне 18 променливи като точните координати, скоростта и посоката на движение и т.н. Уравненията стават изключително сложни.

Един въпрос , до който достигат класиците Лагранж и Лаплас е въпросът: устойчива ли е Слънчевата система - типичен въпрос от тематиката на задачата за трите тела (тук те са повече).
Въпросът трябва да се разбира както в обикновения, т.е. нематематически език - пита се дали планетите няма да избягат много далече от слънцето, дали няма да се приближават произволно близко до него или помежду си.

Няма трудност да се даде и точната математическа формулировка - въпросът е дали решенията остават в някаква компактна област на фазовото пространство -всяко в своя. Знаменитата теорема на Лаплас казва, че Слънчевата система е устойчива, ако се пренебрегнат квадратите на масите.






Това не много ясно твърдение означава следното.
В задачата за трите тела допълнително се предполага, че масата на едно от телата - Слънцето - е много по-голяма от другите маси (на планетите).

Например ако масата на Слънцето е единица, то масите на планетите са хилядни части от единицата. Решенията се записват с безкрайни редове, в които участ¬ват масите. Величините, в които масите участват чрез квадратите си просто зачеркваме. Действително те (квадратите на масите) ще бъдат (за Слънчевата система) милиони пъти по-малки от единица.

Друг е въпросът, че те са коефициенти пред изрази, в които участвува времето и когато то расте, пренебрегнатите членове евентуално също растат.

Поанкаре се връща към тази теорема в съвършено друга постановка, произлизаща от Поасон, който доказва, че ако се оставят квадратите, но се пренебрегнат кубовете, Слънчевата система е отново устойчива.


Тук обаче смисълът на думата „устойчива" е доста различен.
Сега новото значение е, че планетната система ВЕЧНО ЩЕ СЕ ВРЪЩА БЛИЗО ДО СЕГАШНОТО СИ ПОЛОЖЕНИЕ, но планетите биха могли да се отдалечават колкото искаме или да се приближават произволно близко до Слънцето или помежду си.








Поанкаре доказва далеч по-силен резултат - заключението на Поасон е вярно, без да се пренебрегват кубовете или които и да било степени на масите.

Средствата, с които Поанкаре получава този блестящ резултат имат далеч по-голямо значение от самия резултат.

Става въпрос за знаменитата теорема на Поанкаре за възвръщането, която има горе-долу същото звучене, но за произволна механична система, а също и за теорията на интегралните инварианти.

Това са все общотеоретични резултати, лежащи в основата на ергодичната теория, важни за статистическата физика, за хидромеханиката, и т.н.

Впрочем въпросът за устойчивостта на слънчевата система се оказва доста по-сложен. Въпреки огромното придвижване дължащо се на Поанкаре, въпросът на Лагранж и Лаплас чака 70 години за да получи сравнително удовлетворителен отговор.
Той е част на така-наречената КАМ-теория - по имената на Колмогоров, Арнолд и Мозер.
Конкретният резултат принадлежи на тогава 25-годишния Арнолд и „изказан на пръсти" гласи: с голяма вероятност слънчевата система е устойчива - приблизително 0.999

Тясно свързани с „задачата за трите тела” са работите на Поанкаре по динамични системи или качествена теория, по-точно създаването й.

Именно в контекста на качествената теория са голяма част от изследванията му по небесна механика - например тези по периодични решения и свързаните с тях.

Далече преди Поанкаре е било ясно, че повечето диференциални уравнения не могат да се решат в никакъв смисъл.






Станало е ясно, че трябва да се изучават решенията без да се решават уравненията.
Но предшествениците му не са имали убедителни примери.

Вероятно защото не са били наясно кое е това, което трябва да се изучава.

Поанкаре е успял да намери удивително прости и изключително важни геометрични обекти - фазов портрет на система, съставен от фазовите криви, т.е. кривите зададени от решенията и параметризирани с независимата променлива ( времето" ).
/Поанкаре създава основата на бъдещата ТО на Айнщайн/

Това е изучаване на решенията в ЦЯЛАТА ИМ СЪВКУПНОСТ.
И тъкмо защото се въвежда геометрична картина можем да говорим за тяхното взаимно разположение.

Сред детайлите на фазовия портрет най важните са положенията на равновесие и отново периодичните решения.
Последните са източник на много дълбоки и много приложни в истинския смисъл на думата изследвания - периодичните движения се срещат на всяка крачка - и в механиката и в радиотехниката и в икономиката.

Например работата на радиолампата се описва с уравнението на Ван дер Пол:

y + (μ + y2) y + w2y = 0

От него се вижда, че едно от решенията е устойчив граничен цикъл - изолирано периодично решение, което „привлича" близките му решения.

Един от знаменитите проблеми на Хилберт - шестнадесетият, е посветен именно на периодичните решения и по-точно на „граничните цикли на Поанкаре" .


Съответната система има фазов портрет:




Ще цитирам знаменит пасаж от съчинение на Поанкаре.

„Оставаш поразен от сложността на тази фигура, която даже не се опитвам да изобразя. Нищо не е по-подходящо за да ни даде представа за сложността на задачата на трите тела и въобще на задачите на динамиката, в която няма еднозначни интеграли и в която редовете на Болин са разходящи."






Трептения, описвани с уравнението на Ван дер Пол



Какво се случва с решаването на задачата „за трите тела”?
Поанкаре е бил обявен тържествено за един от двамата победители.

Как Поанкаре печели конкурса, въпреки че не разрешава напълно задачата?

Идеите му били достатъчно логични, методите, които използвал новаторски и математечиски изящни. Той разработил куп нови техники и математически похвати за решението на уравнението.
По-скоро заради тези нови техники получава наградата.
Той опростява условието чрез последователни апроксимации на орбитите, които според него не биха повлияли на крайния резултат.

По регламент статиите на победителите трябвало да се публикуват в едно от най-авторитетните математически списания по онова време, а и до сега - "Acta Mathematica".

При подготовката на списанието за печат обаче, младият помощник-редактор и по-късно известен математик Едвард Фрагмен открива неясни места в текста на Поанкаре и му ги съобщава.
След като поправя съответните текстове обезпокоеният Поанкаре преглежда отново съчинението и открива доста по-сериозни грешки с грамадни последствия.

През това време списанието вече е набрано и дори по-лошо - ограничен брой книжки са разпратени на отделни специалисти. Сред тях са членовете на журито - Вайерщрас и Ермит, астрономите - Гилден и Линдщедт, математиците Ковалевска, Ли. Поанкаре съобщава неприятните новини на председателя на журито Миттаг -Лефлер.

По молба на последния това остава в тайна между тях. И двамата имат сериозни врагове - сред тях са знаменитият математик Кронекер или маститият астроном Гилден, директор на стокхолмската обсерватория.








Поанкаре анализира резултатите на неговите предшественици Линдщедт, Болин и др. (главно астрономи), които получават „решенията" във вид на безкрайни редове и доказва, че редовете са разходящи.

Поради това той съсредоточава вниманието си върху проблеми от КАЧЕСТВЕН характер.

Поанкаре започва да изследва периодичните решения, при които планетите след известно време се връщат точно в първоначаналното си положение. „...Особената ценност на тези решения се състои в това, че те представляват единствения жалон, по който можем да проникнем в област, считана по-рано за недостъпна." - така Поанкаре мотивира обекта на изследванията си.

Той обаче, не се задаволява просто да намери големи класове периодични решения - и преди него има намерени такива от Ойлер, Лагранж, Хил.

Поанкаре наистина иска да проникне в областта считана по-рано за недостъпна.
Новите периодични решения му дават възможност да открие нови явления далеч надхвърлящи границите на небесната механика.

След изучаването на периодичните решения той прави следващата стъпка - да разбере какви решения са свързани с тях по някакъв начин.







Най-интересните се оказват решения, при които с течение на времето планетната система все повече се приближава до периодично движеща се, но освен това преди голям интетервал от време е приличала на същата периодична система.
Тези решения са наречени от Поанкаре двойно-асимптотични.

Първоначалните - погрешни твърдения на Поанкаре са водели до извода, че при планетните движения НЕ СЕ ПОЯВЯВАТ ХАОТИЧНИ ДВИЖЕНИЯ.

ПРОТИВНО НА ПЪРВОНАЧАЛНАТА ТЕЗА – ДОРИ МИНИМАЛНА ПРОМЯНА В ИЗХОДНИТЕ УСЛОВИЯ, може да отклони коренно орбитите.

В новата редакция се появява голямото откритие на Поанкаре – СЪЩЕСТВУВАНЕТО НА ХАОС (чувствителност към началните условия) В ДЕТЕРМИНИРАНА СИСТЕМА, в случая описвана с обикновени диференциални уравнения.

Оказва се, че повечето движения всъщност не могат принципиално да се ОПИШАТ ИНДИВИДУАЛНО, и съвсем не заради нашето неумение - такава им е природата.

Те ТРЯБВА ДА СЕ ИЗУЧАВАТ В ТЯХНАТА СЪВКУПНОСТ, А НЕ ПООТДЕЛНО.
Затворената обвивка на такова решение може да е множество с размерност по-голяма от едно.

Резултатът от тази грешка бил още по-важен, обаче!Поанкаре осъзнава грешката си - опростяванията били недопустими и не вършели работа и ТАЗИ ГРЕШКА го сблъсква с ново явление.

За кратко време, около 2 месеца, той практически написва нов труд с различни научни заключения.

Благодарение на работата си по небесната механика, т.е по ДИНАМИЧНИТЕ СИСТЕМИ, Поанкаре създава КАЧЕСТВЕНО НОВА МАТЕМАТИКА.

А епизодът наистина остава в пълна тайна повече от сто години, до началото на деветдесетте години на 20 век, когато младата историчка на науката Джун Бароу-Грийн открива първия вариант на тома в Института Миттаг -Лефлер, както и съответната кореспонденция.

Анализирайки грешките си, Поанкаре доказва неинтегруемостта на задачата за трите тела.
Това означава, че всеки опит да се напишат формули, описващи движенията на планетите е обречен на неуспех.


Именно на тази грешка се дължи създаването на великата ТЕОРИЯТА НА ХАОСА.
Днес теорията на хаоса е сред най-активно развиващите се области с много приложения - сред тях например са метеорологията, химическата кинетика и др.

Теорията на хаоса е математически апарат, който изучава поведението на нелинейни динамични системи.

Тези системи са подчинени на някакъв строг закон (детерминирани) и описват явление, известно като чувствителност към началните условия (хаос).

Примери за подобни системи са атмосферата, турбулентните потоци, биологичните популации и икономическите системи.

Въпреки че математическите системи с „хаотично” /нелинейно/ поведение се явяват детерминирани, т. е. СЕ ПОДЧИНЯВАТ НА НЯКАКЪВ СТРОГ ЗАКОН , също така съществува такава област на физиката като теорията на квантовия хаос, изучаваща недетерминираните системи
/ системи с обратна връзка/ , действащи по законите на квантовата механика.


Откриването на възможността за определяне на параметрите на хаоса, да се определи поведението на нелинейните системи се счита за третото голямо откритие на 20-ти век наред с теорията на относителността и квантовата механика...

Всичко може и вече се третира на практика от позициите на теорията на хаоса, включително социалната организация, цикличностите в развитието, движението на пазарите, биологичните популации, турбуленцията на флуидите и т.н.

Математикът, който доразвива и дава съвременният облик на теорията на хаоса е Едуард Лоренц.

През 1972г. Лоренц публикува "Предвидимост: дали крилата на пеперуда в Бразилия могат да предизвикат торнадо в Тексас?" (Ефект на пеперудата).
Краткото и забавно обяснение на тази теория е, че математическите правила на хаоса обясняват защо крилете на пеперудата създават микропромени в атмосферата, които могат да предизвикат торнадо или ураган на другия край на света.








С какви инструменти разполага теорията на хаоса?

Теорията на хаоса оперира с атрактори (attract - притеглям) и фрактали (fractus - счупен).

- Атрактор (от англ. to attract – притеглям) – геометрична структура, характеризираща поведението във фазовото пространство в продължение на дълго време. Тук възниква необходимост да се определи понятието фазово пространство.

Фазово пространство – това е абстрактно пространство, координатите на което представляват степените на свобода на системата.

Например, при движението на махалото имаме две степени на свобода.
Това движение е напълно определено от началната скорост на махалото и положението му. Ако на движението на махалото не се оказва съпротивление, то фазовото му пространство ще бъде затворена крива. В реалността на Земята на движението на махалото влияе силата на триене. В този случай фазовото пространство ще бъде спирала.

- Бифуркация и Дървото на Фейгенбаум.



Атракторът е това, към което се стреми системата, към което тя е привлечена.
Той е ОБЛАСТ В ПРОСТРАНСТВОТО НА ВЪЗМОЖНИТЕ СЪСТОЯНИЯ, В КОИТО СИСТЕМАТА МОЖЕ ДА СЕ ДВИЖИ , БЕЗ ДА СЕ ОТКЪСНЕ ОТ ТЯХ.

В този смисъл, атракторът е нещо като „гъвкаво скеле”, което поддържа една „динамична конструкция”, така че тя хем да запазва целостта си, без да се разпадне, хем същевременно да успява да се променя. /аз бих нарекла този процес еволюция/

Като област в пространството атракторът може да има различни измерения:
- нулевомерен ;
- точков атрактор, представящ се във вид на едномерна линия;
- едномерен цикличен атрактор, представящ се като множество линии (не обезателно прави) в равнината;
- двумерен тороидален атрактор, представляващ множество линии в тримерното простарнство;
- сложен странен атрактор.









...



ТОЧКОВ АТРАКТОР:

Най-простият тип атрактор е точката. Такъв атрактор е махалото при наличие на триене. Независимо от началната скорост и положение, такова махало винаги ще се стреми към състояние на покой, т.е. в точка. Точковият атрактор е най-простия път от хаоса към реда.
Той съществува в първото измерение на линия, която е сбор от безкрайно количество точки. Точковият атрактор води към една дейност или го отблъсква от друга, подобно положителния или отрицателния полюс на електромагнитната енергия.
Не знаем как ще се държи всяка частица от водата във вана с играещо вътре дете, но със сигурност знаем, че, ако пуснем водата да изтича, ще се стреми към точката на отвора на дъното.

Съществува понякога точка между привличането и отблъскването, точка-седло (инфлексна точка), в която енергиите са в баланс, преди една от силите да стане по-голяма от другата.
С изключение на тези редки примери на инфлексна точка, това е "черно-бял, "добър-лош", целенасочен атрактор.










ЦИКЛИЧЕН АТРАКТОР (граничен цикъл):

Следващият тип атрактор е граничния цикъл, който има вид на затворена крива линия.
Пример за такъв атрактор е махалото, на което не влияе силата на триене.
Друг пример е биенето на сърцето.
Честотата на биене може да намалява или нараства, но тя винаги се стреми към своя атрактор, своята затворена крива.

Цикличния атрактор изразява стремежа към циклично поведение (цикъла от сън и бодърстване, например), подобно на магнитен кръг, отначало привличайки, после отблъсквайки се, след това привличайки се отново.
Той съществува във второто измерение на равнина, сбор от безкрайно количество линии.







С цикличен атрактор се характеризира пазара, където цената се движи нагоре или надолу в определен диапазон в течение на някакъв период време.
Например, високите борсови цени на зърно есента на тази година предизвикват увеличение на посевните площи следващата пролет, което, на свой ред, води до увеличаване на реколтата зърно и понижаване на цените в следващата година. След това фермерите намаляват посевните площи и т. н.

Този атрактор е по-сложен от точковия атрактор и представлява основна структура за по-сложно поведение на елементите от една система.







ТОРОИДАЛЕН АТРАКТОР:

Тороидалния атрактор представлява сложна циркуляция, която се повтаря, докато се ДВИЖИ НАПРЕД.

Съществува в третото измерение, в система, която се състои от безкраен брой плоскости.
В сравнение с цикличния и точковия атрактор, атрактора тор въвежда по-голяма степен безпорядъчност.
Но за разлика от странния атрактор, прогнози все още могат да се правят, образецът е фиксиран и краен.

Графично изглежда като геврек, автомобилна гума (тор).

Той образува спираловидни кръгове на ред различни плоскости и понякога се връща в същата точка, от която е тръгнал, завършвайки пълен оборот.
Неговата основна характеристика е повтарящото се действие.

Този атрактор пресъздава нещо като хомеостаза.



От всичко гореказано следва, че точковия атрактор може да се представи във вид на едномерна линия, цикличния атрактор като множество линии (необезателно прави) в двумерната плоскост, тороидалният атрактор са множество линии в тримерното пространство.








Странен Атрактор

Първият странен атрактор е атракторът на Лоренц.
Хаосът в атмосферата е един от първите обекти на съвременната теория на хаоса, защото самият Едуард Лоренц е бил метеоролог.

Неговият труд от 1963г. за детерминирано непериодично течение (Edward Lorenz, "Deterministic non-periodic flow", Journal of atmospheric sciences, 20, 130-41) се приема от мнозина за полагащ началото на теорията на хаоса.
В него Лоренц опростява поведението на газообразна система от три нелинейни диференциални уравнения:

dx / dt = a (y - x)
dy / dt = x (b - z) - y
dz / dt = xy - c z


Атракторът на Лоренц, представя поведението на газ, в което и да е дадено време. Състояние в даден момент зависи от състоянието му в момента, предшестващ дадения.

Ако началните данни се изменят дори с нищожно малки величини, да кажем, съизмерими с колебанията на числото на Авогадро (от порядъка на 10-24), проверката на състоянието на атрактора ще покаже абсолютно различни стойности.

Причината е, че малките разлики се увеличават в резултат на рекурсията.
Въпреки това обаче, графиката на атрактора ще изглежда достатъчно сходна.

Двете системи ще имат абсолютно различни значения във всеки даден момент от време, но графиката на атрактора ще остане същата, т.е. тя изразява общото поведение на системата.

Обяснението за неравномерното преместване на газа лежи на молекулярно ниво - все пак движението на атомите и молекулите във флуидите си е хаотично.

Молекулярните взаимодействия са много слаби, но те предизвикват случайните флуктуации, които водят до непредвидимите последствия.

Най-важната характеристика на странния атрактор е чувствителността му към началните условия ("ефекта на пеперудата").
И най-малкото отклонение от началните условия може да доведе до огромни различия в резултата.

"Ефектът на пеперудата" гласи:
"Когато в дъждовните гори на Амазония една пеперуда размаха крилца - тя предизвиква ураган в Мексико". Дали наистина можем да разчитаме на пеперудите?
Какво прави пеперудата? Измества една точка във фазовото пространство, което представя метеорологичното време. Да допуснем, че тази точка лежи на един макар и много сложен и многомерен атрактор - малък размах на пеперудата може да отдели точка от атрактора само за много кратко време, след което бързо се връща на същия атрактор в да кажем, близка, съседна точка B.

Траекторията на отклонение A и B е експоненциална, но тъй като лежат на един атрактор, те генерират подобно поведение във времето.
Пеперудите сами не предизвикват ураганите (причините за тях са по-глобални), но могат да повлияят "леко" на това, кога точно ще се случат.


Характерно за нелинейните системи е това, че те имат различни атрактори.

Когато има повече от един атрактор, основният въпрос е:
„в кой от тези атрактори ще завърши системата?”

Всички термодинамични системи имат един точков атрактор - ентропията.
Всеки атрактор има басейн на привличане, който е обкръжаващата го област, пространството, което управлява, така че всички траектории, започващи в тази област, завършват в този атрактор.








Басейните, принадлежащи на различните атрактори, се разделят от тясна граница, която може да има много непостоянна форма. За начални позиции, близки до границата, е много трудно да се определи към кой атрактор ще бъдат привлечени.
Малки колебания могат да тласнат системата в един или друг басейн, и следователно, към един или друг атрактор.


Появата на такава граница, разделяща два атрактора, се нарича бифуркация.

Близката до границата система се държи хаотично, а в басейна нейното движение е предсказуемо - към атрактора.









Фрактал



Фракталът е свързан с хаоса така, както резултатът с процеса.

Природните фрактали се получават в резултат на някакво итеративно развитие, на генезис в неравновесни дисипативни среди, т.е. среди със загуба на енергия.
Естественият подбор води към определен вид като атрактор.

ТОВА СА ЕФЕКТИ НА САМОРЕГУЛАЦИЯТА.
Чувствителността на тези процеси към стартовите условия и към средата води до невъзможността за детайлно предсказване, винаги има място, макар незначително, на несходство на кристалите, организмите, обществените формации и други резултати на взаимодействие на частиците.
Но и сам динамичният хаос като процес може да има фрактален произход.

Басейните на привличане на много атрактори, както странни, така и обикновени, имат фрактална структура.
Фрактални са не само границите на басейните.
Фрактално преплетени могат да бъдат и самите басейни - те могат да са многослойно, фрактално разбъркани помежду си, могат да бъдат мултифрактали.
И най-малкият дрейф на параметрите на системата довеждат текущото състояние от една област в друга, което води до хаотичност и непредсказуемост на по-нататъшното поведение.
Мащабната инвариантност на фрактала не позволява да го измерим и локализираме в пространството.

Същите свойства са присъщи на атрактора, което го определя като фрактал.








Раждането… възраждането на фракталната геометрия става благодарение на Манделброт.
През 1982г. той публикува "Фракталната геометрия на природата".
Книгата предизвиква фурор в научните среди.


Тя обединява в единна система резултати на Кантор, Поанкаре, Фату, Жулиа, Хаусдорф, Пеано от периода 1875-1925г.


Така между неконтролируемия хаос и строгият ред на Евклид вече има нова зона -
тази на ФРАКТАЛНИЯ РЕД. /еволюция – бележката е моя/










...
Обекти, които днес се наричат фрактали, са открити и изследвани дълго преди появата на самата дума.

През 1872 Карл Вайерщрас открива пример за функция с неинтуитивното свойство да е непрекъсната навсякъде без да е диференцируема никъде (Функция на Вайерщрас). Графиката на тази функция в наши дни би била наречена фрактал.

1883 г. , Георг Кантор дава примери за подмножества на реалната права с необичайни свойства. Тези канторови множества (Прах на Кантор) също днес се определят като фрактали.

Опитвайки се да разберат обекти, подобни на канторовите множества, математици като Константин Каратеодори и Феликс Хаусдорф обобщават интутивната идея за размерност като вклюват и не цели стойности.

Итеративни функции в комплексната равнина са изследвани в края на 19 и началото на 20 век от Анри Поанкаре, Феликс Клайн, Пиер Фату и Гастон Жюлиа.

Без помощта на съвременната компютърна графика, обаче, те не са имали възможността да визулизират откритите от тях обекти.








През 1904 Хелге фон Кох, недоволен от твърде абстрактната и аналитична дефиниция на Вайерщрас, дава по-геометрично определение на подобна функция, която днес се нарича снежинка на Кох.

Идеята за самоподобни криви е доразвита от Пол Пиер Леви.
През 1938 той публикува Равнинни или пространствени криви и повърхнини, състоящи се от части, подобни на цялото, където описва две фрактални криви — C-крива на Леви и драконова крива на Леви.

Луис Фрай Ричардсън е пацифист и математик, изучавал причините за войната между две страни. Той търси зависимостта между размера на общата им граница и вероятността за влизане във война.
За целта изследва как се изменя получената дължина на границата при промяна на единицата за измерване.

Той публикува емпирична статистика, цитирана по-късно от Манделброт. Днес това са част от началото на съвременните изследвания на фракталите.

През 1960-те Беноа Манделброт започва да изследва самоподобността в публикации като - "Колко дълго е крайбрежието на Британия?"
Статистическа самоподобност и дробна размерност. Приемайки силно визуален подход, Манделброт установява връзките между клонове на математиката, несвързвани дотогава.
През 1975 той въвежда думата фрактал, за да опише самоподобните обекти, които нямат ясна размерност.









Ако крайбрежието на Британия се измерва с единица мярка 200-километрова отсечка, като двата края на отсечката едновременно опират в брега. След това отсечката се намалява наполовина и процесът на измерване се повтаря, а след това се намалява на една четвърт от първоначалната. Колкото по-малка е отсечката, толкова по-голям е крайният резултат. Може да се предположи, че тези стойности ще клонят към някакво крайно число, което ще е „реалната“ дължина на крайбрежието, но Ричардсън доказва, че всъщност измерванията на дължината на бреговата линия клонят към безкрайност.

Днес това са част от началото на съвременните изследвания на фракталите.

Беноа Манделбро (роден в Полша, но учил и живял като във Франция, така и в САЩ) обобщава множествата на Жюлиа, работейки в компютърните лаборатории на IBM пръв
- визуализира тези множества,
- открива тъй нареченото множество на Манделбро, познато още като Божия отпечатък;
- и не на последно място открива широко приложение на фракталната геометрия.


Интересно е за гения Манделбро, че до 3-4 клас не е знаел таблицата за умножение, по късно у него се събужда огромен интерес към математиката, и то не към класическата толкова, колкото към тази, която описва сложни и неправилни природни форми, която по-късно се оформя като така наречената фрактална геометрия. Всъщност той дава нейното начало. Манделбро споделя, че с лекота може да вижда какви форми стоят зад сложни алгебрични изрази (което му дава огромно предимство в работата).


Прилагането на компютърна визуализация към фракталната геометрия дава силен визуален аргумент за връзките на фракталната геометрия с далеч по-широки области на математиката и науката, отколкото се е смятало преди това, особено в областта на нелинейната динамика, теорията на хаоса и комплексните системи.
Пример за това е нютоновият фрактал - изобразяване на харакстеристики на решението по метода на Нютон като фрактал, което показва как границите между различните решения са фрактали, а самите решения са странни атрактори.

Фракталната геометрия се използва и при компресиране на данни и моделиране на сложни органични и геоложки системи.











...

Фрактална музика - себеподобие и усещане за безкрайност
Фрактали и музика
Фрактална музика

...

следва продължение:
Раждането на ТОПОЛОГИЯТА и значението й за съвременната математика.
Хилбъртовите проблеми - история на решените и история на тези, които остават нерешени.
Развитие на идеите в съвременната математика до наши дни.




...

Аааа,
гледайте, ако искате и това филмче от поредицата забавни филмчета на Морган Фрийман
"Има ли паралелна вселена - 1? "

"Има ли паралелна вселена - 2? "


/добре, че не се омъжих за физик, въпреки, че много ме привличат :))))), не съм за мъж с такова въображение :) /

...


четвъртък, 17 ноември 2011 г.

Еволюцията на един език . Приказка за висшата МАТЕМАТИКА.

...



...


Искам да благодаря на Ностро, без него никога, ама никога нямаше да се хвана с толкова интересна и подлудяваща дейност, като тази, която сама си забърках. / Шефе, не една, цяло ято формули ти нося :))))))))/

Искам да благодаря и на всички други, които ако и да ме гледат подозрително и критично, все пак ми се усмихват дружелюбно.
най-вече благодаря на всички, които коментират, независимо в каква връзка и какво ми казват Амелия, Георги, Синаир, Вал, Ламот, Ностро, Гост, Diandra,

Не мамицата ми се еба, ами фамилията ми се разгони, за да надраскам този пост (да систематизирам висшата математика)... децата ми ходят гладни :)))))) и вече не само сама си говоря, но и сами си говорим :),
но го направих с огромното желание да ви бъда полезна.
Така че, може поне една бутилка Бейлис да ми изпритатите. :)
Имате цял уикенд, за да го прецъкете, че да продължавам нататък :)








ГРАНИЦИТЕ НА ПРОСТРАНСТВОТО
ЕВОЛЮЦИЯТА НА ТОЧКАТА ВЪВ ФРАКТАЛ




В Античността, са първите появи на математически знания като опити за ОПИСАНИЕ на РЕАЛНОСТТА /света/.
Древните шумери използвали няколко различни обозначения за едно и също число, в зависимост от вида реалност, която описва, примерно в записите „5 работника“ и „5 хляба“ имало различно обозначение за числото 5.

Постепенно била осъзната АБСТРАКТНАТА същност на математическите обекти. Питагорейците гледали на числата като на мистични, надарени с вълшебни свойства обекти.

Те първи доказали, че диагоналът на квадрата не може да се съизмери със страната му (квадратен корен от 2 не е РАЦИОНАЛНО число), което е може би ПЪРВИЯТ ДОБРЕ ПОСТАВЕН ПРОБЛЕМ на основите на математиката.

Парадоксите на Зенон, ОТРИЧАЩИ ДВИЖЕНИЕТО, насърчили изследвания, които ги обяснили задоволително едва след 20 ВЕКА.

Платон поставил твърдо математическите обекти в СВЕТА на ИДЕИТЕ, но гърците все още изисквали АКСИОМИТЕ да отразяват РЕАЛНИ ИСТИНИ.
/обратното на „реални” в математиката, не е „нереални”, а „ИМАГИНЕРНИ”/










Първите опити за обосноваване на математическите методи принадлежат на Аристотел, смятан за създател на логиката, а първото строго изложение на математиката прави Евклид в неговите Елементи.

В исторически аспект, Нулата като число се появява много по-късно от останалите числа. Вероятно защото, нулата (0) е единственото число, което е едновременно и реално, и имагинерно.
Първите източници сочат, че използването на 0 като знак за празно място в позиционната бройна система датират от 3-тото хилядолетие пр. н. е. във Вавилон.

Въпреки това, тя не се използва в смисъл на число, каквото го познаваме днес.
Нулата не е била позната и на древните гърци и римляни. Запазените текстове от това време показват, че стойността е била по-скоро обект на философски, а по-късно в средновековието и на религиозни спорове на тема как "нищото може да бъде нещо".
Все пак първите доказателства за съществуването на нула като число датират малко по от рано, 5-3 век пр. н. е. в Индия. Индийските математици са първите, които дефинират понятие близко до съвременното значение на числото. По-късно то се възприема и от арабските учени и преминава в Европа около 1200 г.
Маите също са имали позиционна бройна система, която е използвала 0, но не е оказала влияние върху други цивилизации.

Всички тези процеси на развитие на математиката през Античността, подготвили важни стъпки към възникването на формалните математически теории, които се осъществили през Средновековието.

А именно:
Въвеждането на нулата и позиционната бройна система от индийците, както и разпространението на идеята от арабите позволило ефективно да се изписват произволно големи числа с КРАЙНА АЗБУКА от цифри.

Арабските математици развили основите на алгебрата, описвайки методи за решаване на уравнения. Не случайно съвременните понятия алгебра и алгоритъм идват от заглавието на арабски математически труд и името на автора му Ал Хорезми.

Малко преди великите географски открития италиански математици открили алгоритъм за решаване на алгебрични уравнения от трета степен.
Когато такова уравнение има 3 РЕАЛНИ КОРЕНА, намирането на 2 от тях преминава през намиране на КВАДРАТЕН корен от ОТРИЦАТЕЛНО число. Тази напълно незаконна от гледна точка на реалността ситуация води до намирането на съвсем правилно решение и обосновава необходимостта от употребата на ИМАГИНЕРНИ ЧИСЛА – за които математически обекти трудно намираме физическа интерпретация.


Но първият съществен еволюционен етап в математиката станал ключов за изграждането на съвременните й основи, се случва през така наречената „модерна епоха - 14-18 век”, който накратко се характеризира със следните етапи:

- Въвеждането на съвременните обозначения в алгебрата (използването на скоби, обозначаването с букви на неизвестните величини и параметри) е важна стъпка към изграждането на формални теории.
- Смятането с безкрайно малки величини позволило да се решат парадоксите на Зенон и други важни задачи, наследени от древността.
- Обединяването на новооткрития закон за гравитацията и античните знания за коничните сечения демонстрирали действителната мощ на абстрактните математически конструкции — изградена била единна теория, позволяваща предсказване с голяма точност на движението на планетите, артилерийските снаряди и узрелите ябълки.
- Създаването на аналитичната геометрия свързало геометрията и знанията за числата, подсилвайки усещането за единност и всеобща значимост на математическите истини.











Как се случило това?



В Средните Векове, „религиозното” изкуство било отличително поради преднамерената си липса на перспектива. Крепосниците, селяните и кралете са били изобразявани сякаш са плоски, също както децата рисуват хората. Ренесансовото изкуство се превръща в бунт срещу тази плоска перспектива. Широките и разстлани пейзажи, триизмерните хора били рисувани от гледна точка на човешкото око, като линиите на перспективата изчезвали в хоризонта. Ренесансовото изкуство отразявало начина, по който човешкото око вижда света, от ГЛЕДНАТА ТОЧКА НА НАБЛЮДАТЕЛЯ.

С други думи, Ренесансовото изкуство „ОТКРИЛО” ТРЕТОТО ИЗМЕРЕНИЕ.

Пиеро дела Франческа /живял в 14 в./ е един от най-значимите таланти в италианската живопис и най-големият интелектуалец в живописта преди Леонардо да Винчи.
Творбите на Пиеро са признати шедьоври на изкуство днес, но малко хора знаят, че те са преди всичко революционни шедьоври на математиката.

Художници и архитекти на ранния ренесанс възродили употребата на преспективата. Техника, която била изгубена 1000 години далеч в Античността и правилната й употреба се оказала много по-сложна от очакваното.

Като математик и творец, Пиеро бил първият художник, напълно разбрал перспективата.
Шедьовърът му „Бичуването на Христос” е демонстрация на математическото му боравене с въздушната перспектива.

Проблемът в перспективата е, как да изобразим триизмерният свят на двуизмерно платно.
За даде дълбочина и с това – „трето измерение”, Пиеро използвал математика.




"Бичуването на Христос" - Пиеро




Колко голям трябвало да бъде Христос, ако тази група мъже тук е на определено разстояние от мъжете на преден план? Объркате ли го, илюзията на перспективата се разпада. Не е видно от само себе си, как един ТРИИЗМЕРЕН СВЯТ може да се представи на ДВУИЗМЕРНА ПОВЪРХНОСТ. Вижте как успоредните прави, в триизмерния свят вече не са такива на ДВУИЗМЕРНОТО платно и се срещат в някаква губеща се точка.
Забележете как изгледат плочките на картината.

Перспективата „използвала” нов математичен език, който ни позволява да картографираме едно нещо в друго. Перспективата разгърнала едно ново виждане на света. Виждане, което щяло да предизвика математическа революция.
Творбата на Пиеро, била начало на едно НОВО РАЗБИРАНЕ на ГЕОМЕТРИЯТА.
Но трябвало да минат 200г., за да могат други математици да продължат, там където той бил спрял – ГРАНИЦИТЕ НА ПРОСТРАНСТВОТО.






През 17 век, Европа била изместила близкия изток като център на математическите идеи, където ГЕОМЕТРИЯТА НА ФИКСИРАНИТЕ ПРЕДМЕТИ била на преден план. Във Франция, Германия, Холандия и Великобритания се зародила надпревара за МАТЕМАТИКА на предметите в ДВИЖЕНИЕ.

Това било началото на Рационализма.

„Новата математика” се родила чрез Декарт.

Декарт се ражда във Франция 1596 г. . Бил болнаво дете, на което позволявали да спи до късно, защото още като малък бил загубил майка си. Излежавал се в леглото до 11 ч., практика, която гледал да спазва през целия си живот.

Математиката изисква да отстраниш разсейващите фактори и да се отнесеш в свят на форми и закономерности. Декарт твърдял, че леглото е най-доброто място за подобно медитивно състояние. Като юноша решава да бъде войник в протестантската армия. После и в католическата. За него това не било проблем, защото не изпитвал патриотизъм, един вид бил наемник, не се биел нито за германските протестанти, нито за френските католици, а за парите. В една ранна утрин на 1628, той лагерувал на студен речен бряг. Вдъхновението често пъти ни спохожда на странни места. Онази нощ Декарт въобще не го ловял сън, може и да е защото сутрин се успивал или защото бил подпийнал, съзнанието му вряло от проблеми, мислел за любимата си философия. Намирал я за крайно смущаваща… „ как човек можел изобщо да знае нещо?”.

В този миг, той потънал в сън и в сънят си разбрал, че ключът бил да изгради философия на неоспоримите факти от математиката.
Имал много радикални математически идеи, които искал да публикува, но католическа Франция го безпокояла. За това си събрал багажа и заминал за Холандия. Декарт бил сред шампионите на новата научна революция, която отхвърлила, че слънцето се върти около земята. Мнение, което навлякло на учени като Галилей грижи с Ватикана. Декарт смятал, че сред холандските протестанти ще бъде в безопасност, особено в университетския град Лайден. Неговите идеи не касаели само математиката и механиката.










Той СЛЯЛ алгебрата с геометрията, т.е СВЪРЗАЛ формулите с фигурите, така че да може да се „шари” между тях, създавайки нещо като „речник” между двете. Този „речник”, който бил издаден в Холандия през 1637 г. в две съчинения: "Разсъждение за метода" и "Геометрия", включвал основно философски идеи, но най-вече радикални мисли, изразени в предложения за свързване на алгебрата и геометрията. Този „речник” днес се нарича „Декартовата координатна система” (също и правоъгълна координатна система). Тя се използва, за да се определят положенията на точките в равнина (или в някакво пространство) чрез числа. С нейна помощ геометричните фигури се описват с алгебрични уравнения, които се удовлетворяват от координатите на точките от тези фигури.

Накратко:
Всяка точка в две измерения, може да се опише с две числа. Едното по хоризонталата и второто по вертикалата. С движението на точката по окръжност обаче, координатите й се променят. Но променящите се стойности пак могат да се опишат с уравнение. Във всяка точка на фигурата, геометрията се превръща в алгебра. Използвайки тази трансформация от геометрията в цифри, може да се докаже дали кривата на мост напр., е част от окръжност. За това зрение не е нужно. Уравненията на кривата разкриват тайната й.









По този начин, Декарт превръщал всяка точка от евклидовата геометрия в алгебра. Декарт инициирал разгадаването на възможностите на геометрията във висшата математика, незрими за нас, но съществени за технологиите и физиката. Няма съмнение, че той бил един от гигантите на математиката. За жалост обаче, не бил от най-приятните хора. Не бил сговорчив човек. Много се суетял около имиджа си. Бил убеден, че е прав дори когато грешал и първата му реакция била, че човекът насреща е глупав и не разбира.
Той може и да не е бил човечен, но прозренията му за връзката между алгебра и геометрия завинаги променили математиката.
Въвеждането на „координати” развиващи алгебрата, на свой ред дало тласък на нов стадий в геометрията.
Но, за да се случи тази математичкаска (р)еволюция са били нужни нови съставки.










Има математици със силни религиозни убеждения, както и такива, които са атеисти.
Вероятно това се дължи на факта, че и математиката, и религията се градят на неоспорими аксиоми.

Един парижки монах от седемнадесети век, учил в Йезуитския колеж в Ла Флеш с Декарт, обичал математиката колкото обичал и Бог. Дори в нея видял доказателства за съществуването му. Марен Мерсен бил първокласен математик. Едно от откритията му за простите числа носи името му. Но той е тачен и заради кореспонденцията си. От манастира си в Париж, Мерсен действал като в интеренет кафе - получавал и разпращал идеи, чрез писма. И сега не е по-различно. Седим като математически монаси, мислим за идеите, после ги пращаме на колеги като се надяваме на отговор.

В центъра на Европа, в 17 век, витаел дух на математическо общуване, който не бил виждан от времето на гърците.
Мерсен подтикнал хората да четат труда на Декарт за геометрията. Научните му интереси били в областта на физиката, математиката, философията, музиката, разработва схемата на огледален телескоп. Изследва т.нар. прости и съвършени числа. С това оставя името си на мерсеновите прости числа, които и днес продължават да са обект на научен интерес.

Мерсен обаче изигрва съществена роля за еволюирането на математиката по толкова специфичен и косвен път, че това останава „скрито” за обществеността.
Аз обаче ще ви разкажа за този му специфичен принос на систематолог в математиката.
Наред с това, че той издава трудовете на Аполоний Пергски, Евклид и Архимед , същественият му принос, за който ние не знаем е, че публикува трудовете на двама математици, чиито идеи опосредстват еволюирането на математиката в съвременната висша математика.


Това са Ферма и Франсоа Виет






За разлика от аристократа Декарт, Пиер дьо Ферма бил сметнат за прост селянин и никому неизвестен аматьор, който обаче за щастие не останал незабелязан. Мерсен публикувал неговите нови открития за свойствата на числата.
Най-големият принос на Ферма е изобретяването на съвременната теория за числата, предлагайки една математика в действие.

Той изработил предположения и теореми за числата, както и оставил известната в цял свят Велика теорема (наричана още Последна теорема на Ферма), която над 350г. - останала с непотвърдено доказателство. Теоремата няма значими математически следствия, но опитите за решаването й са довели до откриването на множество важни за математиката твърдения. Поради своята простота и елегантност, а по-късно и заради явната си сложност, тя става едно от главните предизвикателства пред математиците за период от 358 години. През 1993 Андрю Уайлс заявява, че има доказателство на теоремата; то обаче се оказва погрешно. След двугодишни усилия грешката е поправена, но доказателството е много сложно и проверката му е по силите на много малък брой математици. Доказателството е прието окончателно през 1996 година и се съдържа в 150 страници.
Ферма се занимавал с математика само в свободното си време. Денем бил юрист, а главаничкането с математички задачи му било хоби и страст.

Хубавото на математиката е, че се смята навсякъде. Не ти трябва лаборатория, дори и библиотека не ти трябва.

Ферма открил нови закономерности в числата, с което забил поколения математици. Обичал да си играе с числа. Обожавал да търси закономерности и главоблъсканици, да доказва, че тези закономерности винаги ще са в сила.
Освен, че е основа за развлечения, математиката на Ферма има много сериозни приложения. Неговата малка теорема е в основата на КОДОВЕТЕ, защитаващи кредитните ни карти в интернет. Технологията, на която разчитаме днес идва от бележките на математик от 17 век.










Мерсен открива и публикува съчиненията и на другия не по-малко значителен за еволюцията на математиката споменат от мен гений – Франсоа Виет. Неговите съчинения, изиграват важна роля за теорията на числата, независимо, че са били малко познати по време на живота му, тъй като ги е раздавал само на свои близки и познати.
Ето как.
Основната причина математиката да служи за АНАЛОГИЯ, УНИВЕРСАЛЕН ЕЗИК или ОБЯСНИТЕЛЕН ПРИНЦИП се крие в ползата на математическото понятие ФУНКЦИЯ.

Философите на науката, изглежда, са съгласни, че най-съществената стъпка в развитието на модерното математическо мислене от Декарт до наши дни е ПОСТЕПЕННАТА поява на НОВО ПОНЯТИЕ за число.

За древногръцките математици числата са били конкретни, реални, възприемаеми величини, разбирани като свойства на еднакво реални обекти.

Геометрията се е интересувала от измерването, а аритметиката от броенето.
Идеята за нулата като число била немислима, но и отрицателните величини НЯМАЛИ място в реалността на класическия свят, защото се считало, че отрицателните величини нямат съществуване. Изразът (-2) х (-3) = +6 не е нито нещо ВЪЗПРИЕМАЕМО, нито репрезентация на величина .

Идеята, че числата са израз на величини, в продължение на две хиляди години остава доминираща. Развитието на новата математика се състояло в дълга, тайна и най-накрая победна битка срещу идеята за величината.

Решаващото събитие се е случило през 1591 г., когато Виет въвежда обозначението с букви вместо с цифри. С това идеята за числата като дискретни величини е за¬пратена на задно място и се ражда влиятелното понятие за ПРОМЕНЛИВАТА - понятие, което за класическия древногръцки математик, е било също толкова нереално, колкото и халюцинацията. Защото за разлика от числото, обозначаващо възприемаема величина, променливите нямат собствен смисъл: те са смислени само в ОТНОШЕНИЕТО си една към друга. С въвеждането на променливите се осъзнава едно НОВО ИЗМЕРЕНИЕ на ИНФОРМАЦИЯТА и така се формира НОВАТА математика. Отношението между променливите (обикновено, но не задължително изразя¬вано като уравнение) съставлява понятието ФУНКЦИЯ.

Обекти, които според съвременните разбирания се считат за функции, са били разглеждани още в дълбока древност. В древен Вавилон например са открити таблици на квадратите и кубовете на естествените числа. Птолемей е изчислявал дължини на хорди в окръжност, което по същество означава, че е използвал тригонометрични функции. Идеята за понятието обаче започва да се оформя през 14 век.
И през 1755 г.Леонард Ойлер / виж по-долу/ дава съвременното разбиране за функция, а именно:
зависимост между две величини, при което промяната на едната величина (аргументът на функцията) води до промяната на другата (стойността на функцията).

Самото понятие функция се използва за първи път от Готфрид Лайбниц около 1670 г. Функциите, които той е разглеждал, днес се наричат диференцируеми функции и са най-често срещаният вид функции от нематематици. За тях имат смисъл понятията граница и производна.

Функциите не са числа в пластичния смисъл, а са ЗНАЦИ, представящи ВРЪЗКА, която е лишена от отличителните белези на величината: форма и уникално значение, защото те са безкрайност от възможни позиции с подобен характер,те са ансамбъл, те са ЦЯЛО обединено и постигащо по този начин СЪЩЕСТВУВАНЕ КАТО ЧИСЛО.
Цялото уравнение, макар, че е ансамбъл от знаци, всъщност е и ЕДНО ЕДИНСТВЕНО ЧИСЛО, като х, у, z са толкова числа, колкото „+" и „=".

Така например, установявайки специфично отношение между х и у, уравнението

у2 = 4ах

включва всички свойства на крива.

/ Колко измамно може да е значението на числата като величини дори когато тяхното основно намерение е да обозначават конкретни величини, например в икономиката, се илюстрира от една неотдавнашна статия на Дж. Дейвид Стърн (Stern, 1964). Пишейки за националния дълг, той показва, че изследван в изолация и следователно в термините на абсолютните величини, националният дълг на САЩ е претърпял зашеметяващо увеличение от 257 милиарда долара през 1947 г. на 304 милиарда долара през 1962 г. Същевременно, ако се постави в правилния контекст, например изразен по отношение на нетния свободен личен доход, спадът от 151 % до 80 % през този период става видим. Лаиците и политиците са особено склонни да допускат тази конкретна икономическа грешка, макар че икономистите отдавна ценят само СИСТЕМИТЕ от икономически ПРОМЕНЛИВИ, а не ИЗОЛИРАНИТЕ или АБСОЛЮТНИТЕ единици./










Благодарение на ПОНЯТИЕТО ФУНКЦИЯ става възможно зараждането на математиката на ДВИЖЕНИЕТО, чрез появата на МАТЕМАТИЧЕСКИЯ АНАЛИЗ.

Математически анализ е клон от математиката, който се занимава с изследване на поведението на математическите функции.

Той има две основни подразделения - диференциално смятане и интегрално смятане.

Диференциалното смятане изследва скоростта на изменение на функциите, а интегралното смятане се занимава с натрупванията на стойности вследствие от някаква функция.

Например, ако познаваме по какъв начин се изменя положението на някакъв обект с течение на времето, то с помощта на диференциалното смятане можем да определим скоростта на този обект във всеки момент от неговото придвижване. И обратното, ако знаем как се е изменяла скоростта му във времето, то с помощта на интегралното смятане можем да определим местоположението му във всеки момент.

В ежедневието често математическият анализ се прилага подсъзнателно.
Например, ако наблюдаваме движението на един автомобил, ние нямаме представа директно за скоростта му (не виждаме скоростомера му), но когато видим как (колко бързо) се изменя положението му на пътя, успяваме да преценим и скоростта му.
МАТЕМАТИЧЕСКИЯТ АНАЛИЗ е този който СИСТЕМАТИЗИРА математическите понятия до понятието ФРАКТАЛ./но за това най-накрая/

Първите сведения за прилагане на ИДЕИТЕ на МАТЕМАТИЧЕСКИЯ АНАЛИЗ и по-специално на интегралното смятане са от Древна Гърция от 200 г.пр.н.е., когато Евдокс предлага метод за изчисляване на площта (лицето) на дадена фигура чрез ВПИСВАНИЯ в нея фигури, чиято площ клони към площта на оригиналната фигура (например лицето на кръг може да се изчисли чрез лицето на вписан в него правилен многоъгълник).
В Индия през 499 г. математикът и астроном Ариабхата използва идеята за безкрайно малки стойности, за да изрази астрономическа задача чрез диференциално уравнение. През XII век - пак в Индия, се появява идеята за производна като граница.

СЪВРЕМЕННИЯТ ВАРИАНТ на математическия анализ е въведен през XVII в. от Исак Нютон и Готфрид Лайбниц независимо един от друг. На Лайбниц дължим повечето от означенията в този дял на математиката.



Как се е случило това?










Математиката на ФЕРМА и ВИЕТ допринасят за появата на математическия анализ, но той не идва от Франция, а от нейния най-голям съперник в ония времена – Англия. През 17 век, Великобритания се надигнала като голяма сила. Експанзията и амбициите изисквали много методи за измерване и това дало голям тласък на математиката.
Университетските градчета Оксфорд и Кембридж бълвали математици, за които имало голямо търсене.

И НАЙ-ВЕЛИКИЯТ от тях бил Исак Нютон.

Интересното е, че повечето от хората свързват името на Нютон с физиката, гравитацията и движението, но не и с математиката.
Нютон мразел пастрока си, но именно той се погрижил, момчето да стане математик, а не овчар. Не бил забележителен като дете. Значи има надежда за всички деца.
В училище бил със среден успех, имал неколцина приятели, едва ли би ни привлякъл вниманието. Но след двайсет и две годишна възраст Нютон поставя началото на развитието на математиката и различни области на физиката, с което изиграва важна роля в НАУЧНАТА РЕВОЛЮЦИЯ.

Сред многобройните проблеми, които изследва Нютон, са разлагането и природата на светлината, скоростта на звука, охлаждането, произходът на звездите. В областта на механиката Нютон открива закона за всемирното привличане и чрез предложените Закони за движение поставя основите на класическата механика.
Освен това той формулира принципа за запазване на импулса и момента на импулса и пръв показва, че движението на небесните тела и на предметите на Земята се подчинява на общи закони.

Работейки над проблемите на физиката, Исак Нютон поставя началото на МАТЕМАТИЧЕСКИЯ АНАЛИЗ, който е в основата на развитието на науката до наши дни.

В ежедневието често математическият анализ се прилага подсъзнателно. Например, ако наблюдаваме движението на един автомобил, ние нямаме представа директно за скоростта му (не виждаме скоростомера му), но когато видим как (колко бързо) се изменя положението му на пътя, успяваме да преценим и скоростта му.

Представете си, че сте в автомобил и ускорявате от нула до 100 км/ч. Скоростомерът ви показва, че скоростта се мени, но това е само определената скорост. Как можем да знаем каква е точната ни скорост във всеки един момент? Докато колата ускорява по пътя, можем да начертаем графика, където височината на всяка точка отбелязва колко време е отнело на колата да стигне до нея и така можем да сметнем средната скорост между две точки А и Б, като запишем изминатото разстояние и го разделим на времето, за което е било изминато. Но каква е била точната скорост до първата точка А ? Ако приближаваме точката, все по-близо до А се получава все по-малък прозорец от време, а скоростта все повече доближава истинската си стойност и накрая изглежда, че ще смятаме нула делено на нула. Математическият анализ ни позволява да открием смисъл в това смятане, помага ни да изчислим точната скорост и точното разстояние изминато във всеки един момент. Това има смисъл за нещата, които вземаме за даденост.
Ако пуснем една ябълка напр, СКОРОСТТА и РАЗСТОЯНИЕТО се МЕНЯТ, което е в контраст с гърците, които имат много статична математика и помага на всички инженер-физици, защото благодарение на него можем да опишем ДВИЖЕЩИЯТ СЕ СВЯТ.
Само така можем да разгледаме математиката на движението.

С математическият анализ на Нютон разбираме променящият се свят. Орбитите на планетите. Движението на течностите. Със силата на математическия анализ можем с точност да опишем КОМПЛЕКСНИЯ и вечно променящ се свят.

Трябвало обаче да минат 200г. за реализирането на този потенциал.

Нютон решил да не публикува мислите си, а сам да ги разпространява сред приятели. Репутацията му постепенно растяла. Става професор, а после управител на моментния двор. При честите си пътувания до кралското дружество, той предпочитал да мисли за теология и алхимия. Математическият анализ отстъпил пред другите му интереси, докато Нютон не чул, че има съперник. Съперник, който също бил член на кралското дружество и който излязъл със същата идея като него – Готфрид Лайбниц.

Лайбниц достига до чудото на математическият анализ малко след Нютон. Бил е на 29 г. и за два месеца, е разработил диференциалното и интегралното смятане. Макар и Лайбниц да не се превърнал в знаменитост като Нютон, животът му не бил лош. Той работел за кралското семейство в Хановър и представлявал интересите им в Европа. Това му давало време да се отдава на любимите размисли доста разнородни дори и за тогавашните времена. Той разработил план за обединяване на протестанти и католици и трактати по философия и логика, които днес са ценени. Но не бил само човек на словото. Бил сред първите изобретатели на изчислителни машини, базирани на двоична система, която е предтеч на компютъра.

Лайбниц звършил математическия анализ, видимо независим от Нютон, макар и да знаел за неговата работа. Но за разлика от Нютон, Лайбниц с радост разгласил труда си. Математиците в Европа научили за математическия анализ от него, а не от Нютон и тогава започнали грижите му. В математическата история е имало много спорове за първенство, което изглежда момчешко и незряло, но явно и много математици са намирали за съдбоносно важно теоремите да носят тяхното име. Дали защото са го възприемали като шанс за безсмъртие или защото са им отдавали живота си и не са искали да повярват, че и друг е стигнал до същите велики резултати… дали, защото са възприемали теоремите си като свои деца и не са искали да делят почестите с другиго, но Нютон със сигурност не пожелал да дели славата с Лайбниц.
И след години жлъч и обвинения Кралското дружество в Лондон, било призовано за арбитър на претенциите, които предявявали двете страни.

Кралското дружество присъдило на Нютон заслугата за откритието на математическия анализ, а на Лайбниц, първото му публикуване и не само, но в крайното си решение обвинили Лайбниц в плагиатство. Може би това било свързано с факта, че докладът бил написан от председателя на дружество Сър Исак Нютон.
Лайбниц бил дълбоко засегнат. Той се възхищавал на Нютон, така и не се съвзел и починал през 1816 г. Нютон живял още 11г и бил погребан с почести.

Математическият анализ намира приложение в почти всички науки, които използват математически апарат, но най-често се използва във физиката, електрониката, информатиката, икономиката и др.

Иронията е, че се наложила Лайбницовата математика, а не Нютоновата.

Често пъти революциите в математиката създават НОВ ЕЗИК, който да УЛОВИ НОВОТО ВИЖДАНЕ.

Това била дарбата на Лайбниц. Нотацията на Лайбниц и начинът му на записване на формулите уловили духа на математическия анализ.
Именно тях използваме и днес. Нотацията на Нютон за мнозина била тромава и трудна за употреба.

След Нютон и Лабниц, британската математика позагубила пътя си и историята се прехвърлила в сърцето на Европа – в Базел.










Град, в който търговията процъфтявала и където се появила една велика династия математици - Гранули.

През 17 – 18 в. това Базелско семейство на търговци дава шестима неотразими математици, с всеки от който, биха се гордели в Англия.
Може да имате велики умове като Нютон и Лайбниц, но ви трябват ученици, които да вземат откритието, да го разясняват, развиват, реализират и разпространят.

Първите математици от фамилията Бернули били двамата братя Йохан и Якоб, които не се обичали много, но боготворели Лайбниц и разпространили труда му в Европа. Лайбниц бил късметлия, че попаднал на такива надарени математици извън кръга си приятели, които да усвоят метода му и да го разпространят в научните среди.
Това било най-важно за математиката обаче, защото без намесата на Бернули математическият анализ дълго нямало да е това, което е – крайъгълен камък на математиката.

Но Бернули не са известни само като ученици на Лайбниц.
Техен принос бил пресмятането на класическия проблем за времето във физиката и решението й бележи едно от първите реални приложения на новосъздаденото (за 17-ти век) интегрално смятане. Представете си топка върху рампа, така че топката по най-бърз начин да се отзове от горе до долу. Още Галилей е предположил, че правата линия - най-логичния на пръв поглед отговор - не е търсената траектория, но след направените опити, които показали, че, при промяна на наклона на рампата пътят на топката се увеличава, независимо, че времето намалява и Галилей прибързано предположил, че траекторията на най-бързо падане е дъга от кръг. До вренмето на Гранули допусканията били, че най-прекият път е права или извивка. Оказало се, че не е нито едното от двете. Математическият анализ сочел, че най-прекият път е циклоид. Това приложение на диференциалното смята е вариационно смятане. Един от най-мощните аспекти от математиката на Лайбниц и Нютон. Това е „геометрия на алгебрата в действие”.

Днес този подход се използва за пресмятане увеличаването на печалбите, за пестене на енергия, за оптимизиране на конструкции и т.н.
Днес е основа на съвременния технологичен свят.

Фамилията Бернули дава своя значителен принус за математиката развивайки диференциалното, интегралното и вариационното смятане, диференциалните уравнения, диференциалната геометрия и теорията на вероятностите, но един ученик и съгражданин на Йохан Бернули ще предизвика (р)еволюционни промени в математиката - Леонард Ойлер.














Най-добрият ученик на Йохан Бернули, който 1728г. решава да напусне Базел, защото като протеже на Бернули, за него нямало място в града. Така Ойлер се отзовава в Русия, в Сант Петербург. Там той открива своя интелектуален дом.

Много от идеите на времето - вариационното смятане, теорията на Ферма на числата се реализират в ръцете на Ойлер, но той създава и една крайно модерна математика ТОПОЛОГИЯ и АНАЛИЗ.

Ойлер поляризирал числа като ИМАГИНЕРНОТО ЧИСЛО i и символа π .
Неговият живот е изпълнен с математическа магия.

Но откритието му на пресмятането на безкрайни сборове, което обявил през 1837 г., го изстреляло на математическия връх. Как просто може да се разкаже то?
Взимате една малка водка и я сипвате в една висока чаша. После взимате чаша, която е пълна на ¼ и я добавяте към първата, после взимате чаша, която е пълна на 1/9 и добавяте и нея, ако продължите да добавяте безкраен брой чаши, където всяка е дроб на квадрат колко водка ще съберем в тази висока чаша? С този проблем се занимавал и Бернули, за това бил наречен „Базелския проблем”, защото така и останал не решен от него. Даниел Бернули знаел, че водката няма да е безбройно количество. Даниел бил близо, но математиката е точна наука. Ойлер изчислил, че точното количество водка ще е π2/6 . Какво общо имало дроб с числото π. Но анализът на Ойлер показал, че едно и също уравнение имало две страни. 1+1/4 +1/9 +1/16 и така до безкрай т.е - (1/12 + 1/22 + ... + 1/m2)
Може да се изрази

∑ 1/n2 = π2/6













Той първи дава геометричен облик на понятието функция чрез известната „Формула на Ойлер”, която е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.
Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число φ:

където: е — основа на натуралния логаритъм,
i — имагинерна единица,
sin и cos са тригонометрични функции.


Тази формула има частен случай, наречен „Тъждество на Ойлер”, която освен, че по невероятно красив начин свързва немислими величини имагинерното число i и символа π .



препращал към една „немислима за времето си математика” като транплин, който ще бъде използван от Карл Фридрих Гаус и който ще промени геометрията. Но за това по-късно, когато й дойде времето.









Ойлер прилага знанията си в най-разнородни теми от простите числа до оптиката и астрономията. Изготвя нова система от мерки и пише учебник по механика и дори намира време да развие нова теория на музиката, като един Моцарт на математиката.
Забележителна е невероятната продуктивност на Ойлер. В това отношение той превъзхожда всички математици, а количеството на годишно публикуваните от него страници е значително дори и за романист.

Продуктивността на Ойлер надминава възможностите за публикуване както на Берлинската, така и на Петербургската академия, взети заедно. Той спокойно може да дава работа на няколко математически института. Парижката академия на науките оценява несравнимите му успехи, като през 1755 г. го избира за свой девети чуждестранен член, макар че статутът ѝ допуска само осем чуждестранни членове.

Геният на Ойлер се проявява и в това, че той създава половината от работите си, когато вече е напълно сляп. Опирайки се на феноменалната си памет и на невероятното си въображение, той продължава да работи, като диктува на един от помощниците си.
Животът на Ойлер всъщност е почти 60 години творческа дейност, главно в областта на математиката. Той написва 40 книги, около 760 статии за списания и 15 труда по повод на обявени награди, изпълва със записки многобройни бележници и разпраща из Европа няколко хиляди писма.

Освен това хиляди негови страници са останали непубликувани. От статистическа гледна точка Ойлер е правел по едно откритие всяка седмица. От друга страна, изключителната многостранност на неговите научни постижения подпомага значително развитието на всички дялове на математиката. Всички математици от следващото поколение са се учили от него.

В личен план са му са се случили трагични неща, загубил съпругата и дъщеря си, почти ослепял, но твърдял, че именно за това може да се отдаде изцяло на математиката, защото слепотата му позволява нищо да не го разсейва. Интересен положителен подход.
Ойлер особено го бива да демонстрира как общите механични закони, формулирани предишното столетие от Исак Нютон, могат да бъдат отнесени към някои често срещани физични ситуации. Например, като прилага законите на Нютон към движението на течностите, Ойлер успява да разработи равенства, свързани с хидродинамиката.

По същия начин, като анализира внимателно евентуалното движение на твърдото тяло и прилага принципите на Нютон, той извежда цял ред уравнения, които НАПЪЛНО ОПРЕДЕЛЯТ ДВИЖЕНИЕТО на ТВЪРДОТО тяло. На практика, разбира се, НЯМА материално тяло, което да е АБСОЛЮТНО твърдо. Но Ойлер дава важен принос и към теорията за еластичността, която определя как твърдите тела се видоизменят при прилагането на външни сили.







Ойлер бил труден за следване. Математици от две страни се опитали да го сторят. Франция и Германия били в ерата на революцията, която вършеела из Европа в края на 18 в. Страните отчаяно се нуждаели от математици. Но избирали да подкрепят математиката доста нестандартно.
Революцията във Франция подчертала ползата от математика като Наполеон осъзнал, че за да имаш най-добрата военна машина, най-доброто въоръжение ти трябват най-добрите математици. Реформите на Наполеон дали голям тласък на дисциплината. Това според Наполеон била математика в служба на обществото.
Франция имала чудесни математици като Джоузеф Фурие. От чието изследване на звуковите вълни се ползваме и днес. MP3 технологията се базира на анализ на Фурие.

Но в Германия бил най-великият математик.
В университетския град Гьотинген бил дом на един от титаните на математиката, включително и на мъжа наричан принца на математиката Карл Фридрих Гаус.

Баща му бил зидар, вероятно и Гаус щял да стане такъв, но талантът му бил разпознат от майка му. И тя се погрижила той да получи възможно най-доброто образование. На 12г възраст оспорил геометрията на Евклид. На 15г. открил нов модел в простите числа, който 2000 г. обърквал математиците. На 17 , открил конструкцията на седемнайсетстенна фигура, която никой не познавал преди него. Ранните успехи
Окуражили Гауст да си води дневник, нещо като днешен блог.
Някои от идеите на Гаус изпреварили времето си с поне 100г. в дневника, който е оставил се виждат знаци и интеграли, подготвящи една съвсем друга математика, Това са първите указания за теория на елипсовидната функция, наченки на дзета – функцията на Риман.
Дзета – функцията е жизнено важна за днешното ни разбиране на градивните блокове на всички прости числа.

Как можем да осмислим откритията на Гаус?

Гаус се докоснал до много части на математическия свят.
Но ще се спра на една забавна. Имагинерните числа. През 16-17 век европейските математици си представяли корен квадратен от -1 и му дали символа – i. Не го харесвали особено, защото въобще не го разбирали, но решавали с негова помощ, иначе нерешими уравнения.
Благодарение на имагинерните числа сме проумели РАДИОВЪЛНИТЕ, строим мостове и самолети.
Те са КЛЮЧЪТ за КВАНТОВАТА физика, науката на субатомният свят.
Те са ни осигурили карта да видим нещата такива каквито са.

В началото на 19 в. нямало нито карта, нито картина.
Как имагинерните числа са свързани с реалните?

Къде е това число i?
На числовата ос няма място за корен квадратен от -1?
Ето положителните и отрицателните числа.

Голямата стъпка е построяването на нова посока числа, перпендикулярна на числовата ос и там е корен квадратен от -1.

Гаус не бил първият с тази двуизмерна представа за числата, но бил първият, който я обяснил и я показал геометрично съвсем ясно.










/това не е изображение на въпросните координати, но аналогично показва как става.
Аз не мога да ви направя 3Д графика, за да ви покажа как изглежда решението.
Ще се наложи да си го представите, така както Гаус си го е представил във време, в което и телевизия е нямало.
/




Дал на хората картина, за да разберат как работят имагинерните числа и веднъж развита тази картина позволявала да се разгърне огромният потенциал на имагинерните числа.

Математиката донесла на Гаус слава и финансова сигурност.
Можел да иде навсякъде, но той бил доволен да прекара живота си в сънливия Гьотинген.
За жалост със славата дошли отклоненията в характера му.
Затворен и стеснителен по природа, той станал недоверчив и намусен. Много млади математици в Европа смятали Гауст за бог. Изпраща ли му теореми, хипотези, дори доказателства. По правило той не отговарял, а ако го правел било за да им каже, че грешат или, че той вече го е доказал. Отрицанието или липсата на интерес към „по-низшите смъртни” понякога обезкуражавали много талантливи математици.

Но понякога заради надменността си, Гаус пропускал да съзре и някои лични прозрения, включително и едно важно откритие, което можело да промени света.
На 15км. От Гьотинген, днес се издига кулата на Гаус.

Гаус поемал проекти за хановърското правителство включително и измерване на земите.
Това била причината да започне да разсъждава не само за формата на земята, а за нещо по-революционно, за ФОРМАТА НА ПРОСТРАНСТВОТО.

Допуснал, че може би няма нищо плоско във вселената. Ако живеехме в крива вселена, нищо не би могло да бъде плоско.
И това довело Гаус до оборването на една от догмите на математиката - Евклидовата геометрия.

Гаус осъзнал, че тази геометрия зависела от идеята, че космосът е плосък. Евклидовата геометрия, не пасвала на една крива вселена. Но в началото на 19 в., Евклидовата геометрия била наложена от църквата, и Гаус не искал неприятности за това никога не публикувал нищо.

Един друг математик, нямал такива страхове.
В математиката е полезно да си част от общност, в която да говориш и черпиш идеи от другите. Но точно такава математическа общност, често ограничава развитието на идеите, защото е трудно дори да родиш идея да я предложиш на света, защото тя би могла да ПРЕОБЪРНЕ СТАТУКВОТО. Т.е да срещнеш СМАЗВАЩА ИДЕЯТА съпротива от страна на статуквото.







За това в живота, такава идея често пъти идва от неочаквано място, което е далеч от системата.

Математиката се среща на най-странни места. Напр. в Унгария, в Клюш, което звучи не на място, защото е далеч от пристжните математически центрове. На такова място прекарвал живота си Януш Бойяи. Днес дори нямаме негова снимка, защото когато хората през 1960 г., се заинтерували от Бойяия, снимка на Януш не се намерила и я подминили с тази на друг човек.

Роден през 1892, Януш бил син на Франко Бойяи, учител по математика. Той установил, че синът му е гений и писал на стария си приятел Гаус да вземе момчето за ученик. За жалост Гауст отказал.

Вместо да стане професионален математик, Януш влязъл в армията. Но математиката останала първата му любов. Бояй не се отказал от математиката, той се захванал с така наречената ИМАГИНЕРНА ГЕОМЕТРИЯ, където ъглите в триъгълниците правят по-малък от 180градуса. Имагинерната геометрия има АБСОЛЮТНО ДРУГА МАТЕМАТИЧЕСКА ЛОГИКА.
Новата геометрия станала известна като ХИПЕРБОЛИЧНА ГЕОМЕТРИЯ.
Лесно си я представете като огледален образ на сфера, където линиите кривят обратно, не навън, а една към друга навътре.

Трудно е да си представим, защото сме свикнали да живеем в пространство, което е право… плоско. Най-краткото разстояние в навътре извитата сфера, по повърхността не е права, а крива, която се извива в триъгълник извит навътре в повърхността, където най-късите линии, когато се пресичат правят по-малко от 180 градуса.











Бойяи публикувал труда си и баща му изпратил екземпляр на приятеля си Гауст. Гауст веднага отговорил с одобрение. Но не признал откритието на младежа. Защото казал, че човекът който заслужавал лаврите бил самия той, защото бил разработил теорията преди десетилетия. Всъщност има писмо от Гауст до друг негов приятел, в което пише : „Приемам това момче като ключ - гений от първа степен.”

Но Гауст и не помислил да каже това на Бойяи и младият Януш бил обезсърчен. Скоро последвал втори удар. Някой друг бил развил съвсем същата идея, но я публикувал две години преди него – руснакът Николай Лобачевки. Лобачевски приема аксиомата за успоредните прави на Евклид като ограничение. Според него тя е твърде силно изискване, което ограничава възможностите да се описват СВОЙСТВАТА на ПРОСТРАНСТВОТО. Той заменя тази аксиома с по-общото твърдение, че в равнината през точка, нележаща на дадена права, минава повече от една права, която не пресича дадената права. Въз основа на това твърдение той изгражда нова геометрия, коренно различна от евклидовата, която днес носи неговото име.

Но и Бойяи е имал правото да остане в историята като родоначалник на НЕЕВКЛИДОВАТА ГЕОМЕТРИЯ. Вместо това всичко в живота му започнало да се срива и така без признание и кариера, той не публикувал нищо друго, малко след което превъртял. и 1860 г. той умрял в забвение.

Гауст от друга страна бил почетен след смъртта си от университети като кръстили метода за измерване на магнитна индукция, дори кратер на Луната нарекли на него. Докато бил жив, Гауст подкрепил малцина математици, но едно изключение бил друг титан в Гьоринген – Бернхард Риман.







Баща му бил лутариански свещенник, а той хрисим християнин. Израснал като свито момче страдащо от туберкулоза. Семейството му било голямо и бедно и всичко, което имало момчето били отличията по математика. Математиката била неговото спасение. Много математици като Риман имали трудно детство. Били асоциални… с един разпадащ се живот. Именно математиката им давал чувство са сигурност.

Риман прекарал ранните си години в Люнебург, северна Германия. Риман бил от първите ученици на местното училище. Директорът видял как твори стеснителното момче и му дал непрекъснат достъп до библиотеката на училището. Тя му открила един нов свят, в който се чувствал защото там се чувствал свободен в един нов свят. Една от любимите му книги била на математика Петер Густав Льожон Дирихле – „Лекции по теория на числата. На Дирихле се приписва съвременната формална дефиниция на понятието ФУНКЦИЯ. Трудовете му са в областите теория на числата, математически анализ, механика и математическа физика.

Учителят на Риман го попитал как намира книгата на Дрихле. Той отвърнал: „Разбрах всичките 852 стр. на тази чудна книга”.
Стратегията очевидно отговаряла на Риман, който станал блестящ математик. Един от най-славните му приноси била лекция от 1852г. за основите на геометрията.
В лекцията Риман ПЪРВИ описал КАКВО БИЛА ГЕОМЕТРИЯТА И ВРЪЗКАТА Й СЪС СВЕТА.
Нахвърлил също обаче, и каква би могла да бъде геометрията и математиката на МНОГО и РАЗЛИЧНИ ПРОСТРАНСТВА, само едно от които е нашето – ПЛОСКО ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО.

Тогава бил само на 26г.
Бил ли приет добре? Хората разпознали ли революцията?






Както се вижда от историята. 50 – 60 години Риман въобще не бил разбрана, защото никой не виждал как можело ДА СЕ НАПРАВЯТ РИМАНОВИТЕ ИДЕИ КОНКРЕТНИ.
И ВСЕ ПАК това се случило. Айнщайн го направил.

Но въпреки всичко било поставено началото на революцията, която завършва с Анщайновата относителност.
Математиката на Риман променила виждането ни за света.
Появила се ГЕОМЕТРИЯТА НА ПО-ВИСШИТЕ ИЗМЕРЕНИЯ.

ПОТЕНЦИАЛЪТ СЪЩЕСТВУВАЛ ОТ ДЕКАРТ, но ВЪОБРАЖЕНИЕТО НА РИМАН ГО РЕАЛИЗИРАЛ.

Като начало той не положил ограничение на измеренията. Това било нещо съвсем ново в начина ни на мислене. Да, някой като Бойяи мислел за НОВИ геометрии, но отново двуизмерни такива, докато Риман се откъснал от всичко това,
от всички ДВУ и ТРИИЗМЕРНИ ОГРАНИЧЕНИЯ.
Той мислел в по-висш порядък и това било нещо съвсем ново.

Многоизмерното пространство е в сърцето на днешната математика. В геометрията, в теорията на числата и други клонове.
Идеите на Риман още озадачават и изумяват.
Той починал през 1866, само на 39 г.







Днес резултатите от Римановата математика са навсякъде.
Хиперпространството вече не е фантастика, а научен факт.


В Париж са се опитали да визуализират чрез сгради как изглеждат формите в по-висшите измерения. Има построен гигантски куб, който хвърля сянка на куб и заедно двете фигури правят ХИПЕРКУБ – ТЕСАЕДЪР.
Също както ренесансовия художник е рисувал квадрат, за да изобрази куб на двуизмерно платно, сградата представлява куб в куба, за да изрази сянка на четириизмерен хиперкуб. /за съжаление нямам нейна снимка, за да ви я покажа, но мога да визуализирам косвено/






Кубистите и кубизма възстава срещу перспективата и все повече завзема ЧЕТВЪРТОТО измерение, защото то докосва третото измерение от всички възможни перспективи.
Просто казано, Кубисткото изкуство „разкрива” четвъртото измерение.
Картините на Пикасо са блестящ пример, показващи ясно отричане на триизмерната перспектива, като лицата на жените се виждат от различни перспективи едновременно. Вместо една единствена гледна точка, картините на Пикасо показват мултиплицирани /ФРАКТАЛНИ/ перспективи, сякаш са били нарисувани от същество от четвъртото измерение, можещо да види всички перспективи едновременно.







Римантовите постижения дават математическите очила да разглеждаме такива светове на съзнанието.
Много време е изминало, за да настроим тези очила и без ЗЛАТНАТА ЕРА от Декарт до Риман, нямаше да има интеграли, квантова физика, теория на относителността и нито една технология за да успеем да сторим това.
Тази еволюция на математиката издухава мъглата пред картината ни за света, такъв какъвто е
и разкрива един свят, много по-странен и сложно устроен отколкото сме мислили и очаквали и много ПО-ЕЛЕГАНТЕН... със СЪВЪРШЕН ДИЗАЙН.









...