вторник, 27 декември 2011 г.

Приказка за висшата математика II част.

...

Еволюцията на един език: Приказка за висшата математика I чат.



...



Еволюцията на точката във ФРАКТАЛ





...



„Науката е изградена от факти, така както една къща е изградена от камъни, но натрупването на факти представлява толкова наука, колкото купчина камъни представлява къща." -
Анри Поанкаре


...



Смисълът на математиката е в откриването на закономерности и решаването на задачи, а великите неразрешени загадки вдъхват живот на тази наука.

По време на втория математически конгрес, проведен в Париж през 1900 г., Давид Хилберт представил 23 нерешени от математиците проблема.

Според него те щели да определят целите на математиците през ХХ век. Систематизирайки нерешените проблеми в математиката, Хилбърт имал за цел да даде стимул на математиците на XX.век.

Една цел на Хилберт, която личи и от разнобразието на областите, в които са поставени проблемите е да постави ясно въпроса
„...предстои ли на математиката, някога това, което отдавна се случва с другите науки, няма ли тя да се разпадне на отделни частни науки, представителите на които едва се разбират помежду си и поради това, връзките между които стават все по-малко... " Хилберт не отговаря на поставения въпрос, а възкликва емоционално: „ Аз не вярвам в това и не го искам!"

Това, от което се е страхувал Хилберт -разпадането на математиката на отделни науки, не стана факт. Но страховете на Хилберт не са безпочвени.

Разпадането все повече характеризира математиката от онова време. С бурното й развитие през деветнадесети век постепенно се оформят големи и трудни за изучаване области - алгебрична теория на числата, диференциална геометрия, алгебрична геометрия, небесна механика, да не говорим за класическия анализ.

Заедно с това, обаче върви и друга тенденция - на обединяване на математиката.
С известно опростяване можем да кажем, че това става като идеи, средства и резултати от едни раздели се пренасят в други раздели.






Нека да посочим примера, който дължим на гения на Риман - чрез римановата дзета-функция да се изследва разпределението на простите числа. Но в обединяването на науката, не по-малка, а може би по-голяма роля играе умението да се намира общ произход на обекти изглеждащи доста различни.
Начинанието на Хилбърт успява.
Хилбъртовите проблеми дефинират математиката на съвременния свят

Ето таблица, в която са изброени подробно 23 – те проблема, заедно с указания за това кои са решените към момента.
Моля, обърнете внимание на проблем N 6.

Заслугата за това математеката да остане единна, като намери универсални средства за разбирането на проблемите й чрез обединяване на тези проблеми, т.е. намирането на по-общи постановки, а оттук и за бурното й развитие, принадлежи на серия блестящи умове.

Много математици приемат предизвикателството на Хилбърт.
Разказът, за това, кои математици как са третирали или как са преборили „Хилбъртовите проблеми” се превръща в история на математиката на XXв.

Ние трябва да съсредоточим своето внимание главно не толкова върху сходствата и различията, колкото върху тези аналогии, които често се скриват в изглеждащите различия" , пише Поанкаре в книгата си Наука и метод" .

Първият Хилбъртов проблем се родил в източна Германия – в град Хале.
Великият математик Георг Кантор първи успял да разкрие загадката на безкрайността и да я дефинира математически.

Никой преди Кантор, не е разбирал понятието безкрайност, още повече да го е дефинирал математически.

Концепцията за безкрайността е променлива, което я прави трудна за дефиниране. Объркващо е да мислим за безкрайността, защото колкото повече се задълбочаваме, толкова повече данните се трупат ли не трупат и губим представа до къде можем да стигнем.

Математическите въпроси обикновено възникват и се развиват чрез взаимодействие на много изследователи.

С концепцията за безкрайността, математиците са се борели още от 5-ти век пр. н. е.
Още гръцкият математик Зенон от Елея на Запад и ранните индийски математици на Изток. По-късно, през първата половина на 19-ти век, особено забележителна е работата на Бернард Болцано.

Първите разработки свързани с теорията на множествата принадлежат на този чешки философ, математик и теолог. В труда си „ Парадоксите на безкрайното“ публикуван през 1851 г. Болцано развил теорията за безкрайните множества. Доказал известната теорема Болцано-Вайерщрас като показал, че всяко ограничено безкрайно множество има поне една гранична точка.

Съвременното разбиране за безкрайността започва през 1867-71, с работата на Кантор свързана с теорията на числата.

През 1870 г. Георг Кантор разработил програма за стандартизиране на математиката, в рамките на която всеки математически обект представлявал определен тип множество, но теорията на множествата добива популярност през 1874 с така известния доклад на Кантор.

Кантор направил безкрайността разбираема. Нещо повече, твърдял, че няма само една безкрайност, а безброй безкрайности.

Опростено казано, Кантор сравнявал различни безкрайни редици числа.
Напр. редицата числа 1,2,3,4,5 и т.н. , с тази от 10, 20, 30, 40 и т.н. , която на пръв поглед изглежда по-малката. Кантор доказал, че двете безкрайни числови редици, всъщност са еднакво дълги, защото образуват двойки.

Ами дробите?
Има безкрайно много дроби в състава на целите числа.

Дали безкрайността на дробите е по-голяма?
Кантор намира начин, по който свързва целите числа с безкрайно множество дроби. Подрежда всички дроби в безкрайна мрежа.




В първата редица са цели числа – дроби със знаменател 1.
На втори ред са половините дроби със знаменател 2 и т.н. всяка дроб намира своето място в мрежата.
Кантор прекарва мислена линия, която минава диагонално и показва, че ако се изправи тази линия се свързва всяка дроб с едно от целите числа. Това показва, че безкрайността на дробите е същата като безкрайността на целите числа.

Дали всички безкрайности са еднакви по размер, обаче?

Кантор разглежда множеството на безкрайните десетични дроби и доказва, че тяхнята безкрайност е по-голяма.

Опитал ли се някой да изброи всички десетични дроби, Кантор можел да го контрира с нова десетична дроб извън списъка.

Кантор доказва, че има различни безкрайности и различни размери на безкрайностите.
Той дефинирал безкрайните множества и доказал, че реалните числа са повече на брой от естествените. Теоремата на Кантор включва "безкрайност на безкрайностите".
Той определил кардиналните и ординалните числа, както и тяхното пресмятане.
Той е създателят на съвременната теория на множествата, която се превръща във фундаментална теория в математиката.







Кантор е вземан за чешит и не само защото страдал от маниакална депресия, поради която прекарал по-голямата част от живота си в „луксозен” санаториум за душевно болни. Въпреки несъмнения му гениален принос за математиката, неговата теория за трансфинитните числа, първоначално е смятана за не-интуитивна и дори шокираща.
Работата му срещала опозиция в лицето на множество негови съвременници. Негативното отношение от тяхна страна се смята за причината за честите депресии, в които изпадал Кантор.

Но как можем да знаем какво става със сигурност в душата на един човек, пък камо ли в душата на един гениален математик, първият, който започнал да брои не числа, а безкрайности? Един математик, който отворил портала към съвсем нов вид математика. Математика, която днес е считана за основна смяна на парадигмата.

Много от математиците са смутени от парадоксите създадени от Кантор.

Интересното е, че само те не представлявали проблем за него.

Парадоксът на безкрайността никога не стряскал Кантор.
Той вярвал, че има неща, които могат да се установят с математическа точност, обаче абсолютната безкрайност е самият Бог, плюс финалния парадокс, че това може да бъде разбрано единствено от Бог.

Но Кантор не оставя всичко в ръцете на Всевишния.
С един проблем се бори до смъртта си.






Това е хипотезата за континиуума. /вижте първият Хилбъртов проблем/

Има ли безкрайност между по-малката безкрайност на целите числа и тази на десетичните дроби?/ще се върна тук по-нататък, за да развия как се решава този първи Хилбъртов проблем - следете продълженията :)/


И макар че, Кантор среща голяма съпротива приживе, един от най-уважаваните и известни математици за времето си – гениалният Анри Поанкаре защитава и доразвива теориите му.
Поанкаре твърди, че математиката на безкрайността е красива, въпреки че е патологична.
Поанкаре е може би първият, който заличава границите между отделните математически дисциплини (без да отричам заслугите на Якоби, Риман, Клайн).

Той свободно прехвърля идеи от една област в друга, дотогава считана за съвършено различна. Преливането отива дотам, че те стават една наука.

Участието на Поанкаре в създаването на фундамента на съвременната математика е решаващо - и в определяне на централните направления на изследванията, и в създаването на съвременния универсален език, който обединява класически разделените геометрия и алгебра.







След Лобачевски и преди Поанкаре хиперболичната геометрия няма кой знае какво развитие. Тя е по-скоро екзотична област.

С модела на Поанкаре и с изследванията му (и Клайн) по автоморфни функции /вижте 22-рият Хилбъртов проблем/, тя става централен обект в математиката, какъвто е и сега.

Характерното за творчеството на Поанкаре е, че той изследва природата, иска да разбере философията на света.
Конкретните си резултати той извлича след намирането на движещия механизъм на явлението.

Така е и при автоморфните функции. След намирането на връзката с хиперболичната геометрия Поанкаре сравнително лесно получава всичко останало.


В резюме.
За целите на диференциалните уравнения е развита теория, основана на комплексния анализ, теорията на групите, неевклидовата геометрия.

Използвани са идеи от теория на числата.
Още в началото на заниманията си Поанкаре забелязва, че автоморфните функции са много полезен инструмент в изучаването на римановите повърхнини (удивително е, че Поанкаре по онова време има неособено големи познания в тази област).

Например чрез теорията на автоморфните функции се получава едно от доказателствата (това на Поанкаре) на теоремата за униформизацията.

Процесът на това откритие на Поанкаре е описан подробно от самия него в книгата му „Наука и метод" .
Там той подчертава особено много ролята на интуицията, на безсъзнателното в научното творчество.

Днес не можем да си представим математиката без автоморфните функции.

Освен в теорията на римановите повърхнини тя е съществена част и важен инструмент на теорията на числата. Теорията на представянията на групи, централна област, пронизваща природоматематическите науки от аритметиката до квантовата химия, е практически невъзможна без нея.


Ключът към развитието на най-важните проблеми на математиката на XX век,
изнамерен от Поанкаре, се появява с една интересна задача.







През 1885 г, по повод 60- годишнината на краля на Швеция и Норвегия Оскар II се обявява международен конкурс с награден фонд 2500 крони, за онзи който докаже веднъж завинаги математически, че ако СЛЪЧНЕВАТА СИСТЕМА НЕ СЕ ВЪРТИ В СТРОГО ОПРЕДЕЛЕН РЕД (закономерно подредено) то тя ще СЕ РАЗПАДНЕ ВНЕЗАПНО.

Работите на Поанкаре в задачата за трите тела стават знакови за творчеството му, както и за развитието на съвременната математика.


В основни линии задачата се състояла в следното:

Три материални (т.е с ненулева маса) точки, например Слънце, Земя и Юпитер, се движат в пространството под действието на силите на привличане помежду им по закона на Нютон. Иска се да се опише движението.

Тази размита постановка не е случайна - задачата всъщност няма строга формулировка. Изследователите сами биха могли да я допълват според интересите и силите си.
За разлика от задачата за двете тела, на която всички движения могат да се опишат детайлно и да се класифицират, тук намирането на някое движение, например периодично, вече е голям успех.

Добре е да се отбележи, че задачата съдържа практически всички трудности присъщи на механични задачи и специално на задачи за много тела.

Според изчисленията на Нютон, ако в системата има две планети, орбитите ще бъдат стабилни. Те ще се въртят една около друга в епилептична траектория.
Но ако системата е от три тела като земята, луната и слънцето напр. въпросът за стабилността на орбитите стъписва дори Нютон.






Проблемът е, че има поне 18 променливи като точните координати, скоростта и посоката на движение и т.н. Уравненията стават изключително сложни.

Един въпрос , до който достигат класиците Лагранж и Лаплас е въпросът: устойчива ли е Слънчевата система - типичен въпрос от тематиката на задачата за трите тела (тук те са повече).
Въпросът трябва да се разбира както в обикновения, т.е. нематематически език - пита се дали планетите няма да избягат много далече от слънцето, дали няма да се приближават произволно близко до него или помежду си.

Няма трудност да се даде и точната математическа формулировка - въпросът е дали решенията остават в някаква компактна област на фазовото пространство -всяко в своя. Знаменитата теорема на Лаплас казва, че Слънчевата система е устойчива, ако се пренебрегнат квадратите на масите.






Това не много ясно твърдение означава следното.
В задачата за трите тела допълнително се предполага, че масата на едно от телата - Слънцето - е много по-голяма от другите маси (на планетите).

Например ако масата на Слънцето е единица, то масите на планетите са хилядни части от единицата. Решенията се записват с безкрайни редове, в които участ¬ват масите. Величините, в които масите участват чрез квадратите си просто зачеркваме. Действително те (квадратите на масите) ще бъдат (за Слънчевата система) милиони пъти по-малки от единица.

Друг е въпросът, че те са коефициенти пред изрази, в които участвува времето и когато то расте, пренебрегнатите членове евентуално също растат.

Поанкаре се връща към тази теорема в съвършено друга постановка, произлизаща от Поасон, който доказва, че ако се оставят квадратите, но се пренебрегнат кубовете, Слънчевата система е отново устойчива.


Тук обаче смисълът на думата „устойчива" е доста различен.
Сега новото значение е, че планетната система ВЕЧНО ЩЕ СЕ ВРЪЩА БЛИЗО ДО СЕГАШНОТО СИ ПОЛОЖЕНИЕ, но планетите биха могли да се отдалечават колкото искаме или да се приближават произволно близко до Слънцето или помежду си.








Поанкаре доказва далеч по-силен резултат - заключението на Поасон е вярно, без да се пренебрегват кубовете или които и да било степени на масите.

Средствата, с които Поанкаре получава този блестящ резултат имат далеч по-голямо значение от самия резултат.

Става въпрос за знаменитата теорема на Поанкаре за възвръщането, която има горе-долу същото звучене, но за произволна механична система, а също и за теорията на интегралните инварианти.

Това са все общотеоретични резултати, лежащи в основата на ергодичната теория, важни за статистическата физика, за хидромеханиката, и т.н.

Впрочем въпросът за устойчивостта на слънчевата система се оказва доста по-сложен. Въпреки огромното придвижване дължащо се на Поанкаре, въпросът на Лагранж и Лаплас чака 70 години за да получи сравнително удовлетворителен отговор.
Той е част на така-наречената КАМ-теория - по имената на Колмогоров, Арнолд и Мозер.
Конкретният резултат принадлежи на тогава 25-годишния Арнолд и „изказан на пръсти" гласи: с голяма вероятност слънчевата система е устойчива - приблизително 0.999

Тясно свързани с „задачата за трите тела” са работите на Поанкаре по динамични системи или качествена теория, по-точно създаването й.

Именно в контекста на качествената теория са голяма част от изследванията му по небесна механика - например тези по периодични решения и свързаните с тях.

Далече преди Поанкаре е било ясно, че повечето диференциални уравнения не могат да се решат в никакъв смисъл.






Станало е ясно, че трябва да се изучават решенията без да се решават уравненията.
Но предшествениците му не са имали убедителни примери.

Вероятно защото не са били наясно кое е това, което трябва да се изучава.

Поанкаре е успял да намери удивително прости и изключително важни геометрични обекти - фазов портрет на система, съставен от фазовите криви, т.е. кривите зададени от решенията и параметризирани с независимата променлива ( времето" ).
/Поанкаре създава основата на бъдещата ТО на Айнщайн/

Това е изучаване на решенията в ЦЯЛАТА ИМ СЪВКУПНОСТ.
И тъкмо защото се въвежда геометрична картина можем да говорим за тяхното взаимно разположение.

Сред детайлите на фазовия портрет най важните са положенията на равновесие и отново периодичните решения.
Последните са източник на много дълбоки и много приложни в истинския смисъл на думата изследвания - периодичните движения се срещат на всяка крачка - и в механиката и в радиотехниката и в икономиката.

Например работата на радиолампата се описва с уравнението на Ван дер Пол:

y + (μ + y2) y + w2y = 0

От него се вижда, че едно от решенията е устойчив граничен цикъл - изолирано периодично решение, което „привлича" близките му решения.

Един от знаменитите проблеми на Хилберт - шестнадесетият, е посветен именно на периодичните решения и по-точно на „граничните цикли на Поанкаре" .


Съответната система има фазов портрет:




Ще цитирам знаменит пасаж от съчинение на Поанкаре.

„Оставаш поразен от сложността на тази фигура, която даже не се опитвам да изобразя. Нищо не е по-подходящо за да ни даде представа за сложността на задачата на трите тела и въобще на задачите на динамиката, в която няма еднозначни интеграли и в която редовете на Болин са разходящи."






Трептения, описвани с уравнението на Ван дер Пол



Какво се случва с решаването на задачата „за трите тела”?
Поанкаре е бил обявен тържествено за един от двамата победители.

Как Поанкаре печели конкурса, въпреки че не разрешава напълно задачата?

Идеите му били достатъчно логични, методите, които използвал новаторски и математечиски изящни. Той разработил куп нови техники и математически похвати за решението на уравнението.
По-скоро заради тези нови техники получава наградата.
Той опростява условието чрез последователни апроксимации на орбитите, които според него не биха повлияли на крайния резултат.

По регламент статиите на победителите трябвало да се публикуват в едно от най-авторитетните математически списания по онова време, а и до сега - "Acta Mathematica".

При подготовката на списанието за печат обаче, младият помощник-редактор и по-късно известен математик Едвард Фрагмен открива неясни места в текста на Поанкаре и му ги съобщава.
След като поправя съответните текстове обезпокоеният Поанкаре преглежда отново съчинението и открива доста по-сериозни грешки с грамадни последствия.

През това време списанието вече е набрано и дори по-лошо - ограничен брой книжки са разпратени на отделни специалисти. Сред тях са членовете на журито - Вайерщрас и Ермит, астрономите - Гилден и Линдщедт, математиците Ковалевска, Ли. Поанкаре съобщава неприятните новини на председателя на журито Миттаг -Лефлер.

По молба на последния това остава в тайна между тях. И двамата имат сериозни врагове - сред тях са знаменитият математик Кронекер или маститият астроном Гилден, директор на стокхолмската обсерватория.








Поанкаре анализира резултатите на неговите предшественици Линдщедт, Болин и др. (главно астрономи), които получават „решенията" във вид на безкрайни редове и доказва, че редовете са разходящи.

Поради това той съсредоточава вниманието си върху проблеми от КАЧЕСТВЕН характер.

Поанкаре започва да изследва периодичните решения, при които планетите след известно време се връщат точно в първоначаналното си положение. „...Особената ценност на тези решения се състои в това, че те представляват единствения жалон, по който можем да проникнем в област, считана по-рано за недостъпна." - така Поанкаре мотивира обекта на изследванията си.

Той обаче, не се задаволява просто да намери големи класове периодични решения - и преди него има намерени такива от Ойлер, Лагранж, Хил.

Поанкаре наистина иска да проникне в областта считана по-рано за недостъпна.
Новите периодични решения му дават възможност да открие нови явления далеч надхвърлящи границите на небесната механика.

След изучаването на периодичните решения той прави следващата стъпка - да разбере какви решения са свързани с тях по някакъв начин.







Най-интересните се оказват решения, при които с течение на времето планетната система все повече се приближава до периодично движеща се, но освен това преди голям интетервал от време е приличала на същата периодична система.
Тези решения са наречени от Поанкаре двойно-асимптотични.

Първоначалните - погрешни твърдения на Поанкаре са водели до извода, че при планетните движения НЕ СЕ ПОЯВЯВАТ ХАОТИЧНИ ДВИЖЕНИЯ.

ПРОТИВНО НА ПЪРВОНАЧАЛНАТА ТЕЗА – ДОРИ МИНИМАЛНА ПРОМЯНА В ИЗХОДНИТЕ УСЛОВИЯ, може да отклони коренно орбитите.

В новата редакция се появява голямото откритие на Поанкаре – СЪЩЕСТВУВАНЕТО НА ХАОС (чувствителност към началните условия) В ДЕТЕРМИНИРАНА СИСТЕМА, в случая описвана с обикновени диференциални уравнения.

Оказва се, че повечето движения всъщност не могат принципиално да се ОПИШАТ ИНДИВИДУАЛНО, и съвсем не заради нашето неумение - такава им е природата.

Те ТРЯБВА ДА СЕ ИЗУЧАВАТ В ТЯХНАТА СЪВКУПНОСТ, А НЕ ПООТДЕЛНО.
Затворената обвивка на такова решение може да е множество с размерност по-голяма от едно.

Резултатът от тази грешка бил още по-важен, обаче!Поанкаре осъзнава грешката си - опростяванията били недопустими и не вършели работа и ТАЗИ ГРЕШКА го сблъсква с ново явление.

За кратко време, около 2 месеца, той практически написва нов труд с различни научни заключения.

Благодарение на работата си по небесната механика, т.е по ДИНАМИЧНИТЕ СИСТЕМИ, Поанкаре създава КАЧЕСТВЕНО НОВА МАТЕМАТИКА.

А епизодът наистина остава в пълна тайна повече от сто години, до началото на деветдесетте години на 20 век, когато младата историчка на науката Джун Бароу-Грийн открива първия вариант на тома в Института Миттаг -Лефлер, както и съответната кореспонденция.

Анализирайки грешките си, Поанкаре доказва неинтегруемостта на задачата за трите тела.
Това означава, че всеки опит да се напишат формули, описващи движенията на планетите е обречен на неуспех.


Именно на тази грешка се дължи създаването на великата ТЕОРИЯТА НА ХАОСА.
Днес теорията на хаоса е сред най-активно развиващите се области с много приложения - сред тях например са метеорологията, химическата кинетика и др.

Теорията на хаоса е математически апарат, който изучава поведението на нелинейни динамични системи.

Тези системи са подчинени на някакъв строг закон (детерминирани) и описват явление, известно като чувствителност към началните условия (хаос).

Примери за подобни системи са атмосферата, турбулентните потоци, биологичните популации и икономическите системи.

Въпреки че математическите системи с „хаотично” /нелинейно/ поведение се явяват детерминирани, т. е. СЕ ПОДЧИНЯВАТ НА НЯКАКЪВ СТРОГ ЗАКОН , също така съществува такава област на физиката като теорията на квантовия хаос, изучаваща недетерминираните системи
/ системи с обратна връзка/ , действащи по законите на квантовата механика.


Откриването на възможността за определяне на параметрите на хаоса, да се определи поведението на нелинейните системи се счита за третото голямо откритие на 20-ти век наред с теорията на относителността и квантовата механика...

Всичко може и вече се третира на практика от позициите на теорията на хаоса, включително социалната организация, цикличностите в развитието, движението на пазарите, биологичните популации, турбуленцията на флуидите и т.н.

Математикът, който доразвива и дава съвременният облик на теорията на хаоса е Едуард Лоренц.

През 1972г. Лоренц публикува "Предвидимост: дали крилата на пеперуда в Бразилия могат да предизвикат торнадо в Тексас?" (Ефект на пеперудата).
Краткото и забавно обяснение на тази теория е, че математическите правила на хаоса обясняват защо крилете на пеперудата създават микропромени в атмосферата, които могат да предизвикат торнадо или ураган на другия край на света.








С какви инструменти разполага теорията на хаоса?

Теорията на хаоса оперира с атрактори (attract - притеглям) и фрактали (fractus - счупен).

- Атрактор (от англ. to attract – притеглям) – геометрична структура, характеризираща поведението във фазовото пространство в продължение на дълго време. Тук възниква необходимост да се определи понятието фазово пространство.

Фазово пространство – това е абстрактно пространство, координатите на което представляват степените на свобода на системата.

Например, при движението на махалото имаме две степени на свобода.
Това движение е напълно определено от началната скорост на махалото и положението му. Ако на движението на махалото не се оказва съпротивление, то фазовото му пространство ще бъде затворена крива. В реалността на Земята на движението на махалото влияе силата на триене. В този случай фазовото пространство ще бъде спирала.

- Бифуркация и Дървото на Фейгенбаум.



Атракторът е това, към което се стреми системата, към което тя е привлечена.
Той е ОБЛАСТ В ПРОСТРАНСТВОТО НА ВЪЗМОЖНИТЕ СЪСТОЯНИЯ, В КОИТО СИСТЕМАТА МОЖЕ ДА СЕ ДВИЖИ , БЕЗ ДА СЕ ОТКЪСНЕ ОТ ТЯХ.

В този смисъл, атракторът е нещо като „гъвкаво скеле”, което поддържа една „динамична конструкция”, така че тя хем да запазва целостта си, без да се разпадне, хем същевременно да успява да се променя. /аз бих нарекла този процес еволюция/

Като област в пространството атракторът може да има различни измерения:
- нулевомерен ;
- точков атрактор, представящ се във вид на едномерна линия;
- едномерен цикличен атрактор, представящ се като множество линии (не обезателно прави) в равнината;
- двумерен тороидален атрактор, представляващ множество линии в тримерното простарнство;
- сложен странен атрактор.









...



ТОЧКОВ АТРАКТОР:

Най-простият тип атрактор е точката. Такъв атрактор е махалото при наличие на триене. Независимо от началната скорост и положение, такова махало винаги ще се стреми към състояние на покой, т.е. в точка. Точковият атрактор е най-простия път от хаоса към реда.
Той съществува в първото измерение на линия, която е сбор от безкрайно количество точки. Точковият атрактор води към една дейност или го отблъсква от друга, подобно положителния или отрицателния полюс на електромагнитната енергия.
Не знаем как ще се държи всяка частица от водата във вана с играещо вътре дете, но със сигурност знаем, че, ако пуснем водата да изтича, ще се стреми към точката на отвора на дъното.

Съществува понякога точка между привличането и отблъскването, точка-седло (инфлексна точка), в която енергиите са в баланс, преди една от силите да стане по-голяма от другата.
С изключение на тези редки примери на инфлексна точка, това е "черно-бял, "добър-лош", целенасочен атрактор.










ЦИКЛИЧЕН АТРАКТОР (граничен цикъл):

Следващият тип атрактор е граничния цикъл, който има вид на затворена крива линия.
Пример за такъв атрактор е махалото, на което не влияе силата на триене.
Друг пример е биенето на сърцето.
Честотата на биене може да намалява или нараства, но тя винаги се стреми към своя атрактор, своята затворена крива.

Цикличния атрактор изразява стремежа към циклично поведение (цикъла от сън и бодърстване, например), подобно на магнитен кръг, отначало привличайки, после отблъсквайки се, след това привличайки се отново.
Той съществува във второто измерение на равнина, сбор от безкрайно количество линии.







С цикличен атрактор се характеризира пазара, където цената се движи нагоре или надолу в определен диапазон в течение на някакъв период време.
Например, високите борсови цени на зърно есента на тази година предизвикват увеличение на посевните площи следващата пролет, което, на свой ред, води до увеличаване на реколтата зърно и понижаване на цените в следващата година. След това фермерите намаляват посевните площи и т. н.

Този атрактор е по-сложен от точковия атрактор и представлява основна структура за по-сложно поведение на елементите от една система.







ТОРОИДАЛЕН АТРАКТОР:

Тороидалния атрактор представлява сложна циркуляция, която се повтаря, докато се ДВИЖИ НАПРЕД.

Съществува в третото измерение, в система, която се състои от безкраен брой плоскости.
В сравнение с цикличния и точковия атрактор, атрактора тор въвежда по-голяма степен безпорядъчност.
Но за разлика от странния атрактор, прогнози все още могат да се правят, образецът е фиксиран и краен.

Графично изглежда като геврек, автомобилна гума (тор).

Той образува спираловидни кръгове на ред различни плоскости и понякога се връща в същата точка, от която е тръгнал, завършвайки пълен оборот.
Неговата основна характеристика е повтарящото се действие.

Този атрактор пресъздава нещо като хомеостаза.



От всичко гореказано следва, че точковия атрактор може да се представи във вид на едномерна линия, цикличния атрактор като множество линии (необезателно прави) в двумерната плоскост, тороидалният атрактор са множество линии в тримерното пространство.








Странен Атрактор

Първият странен атрактор е атракторът на Лоренц.
Хаосът в атмосферата е един от първите обекти на съвременната теория на хаоса, защото самият Едуард Лоренц е бил метеоролог.

Неговият труд от 1963г. за детерминирано непериодично течение (Edward Lorenz, "Deterministic non-periodic flow", Journal of atmospheric sciences, 20, 130-41) се приема от мнозина за полагащ началото на теорията на хаоса.
В него Лоренц опростява поведението на газообразна система от три нелинейни диференциални уравнения:

dx / dt = a (y - x)
dy / dt = x (b - z) - y
dz / dt = xy - c z


Атракторът на Лоренц, представя поведението на газ, в което и да е дадено време. Състояние в даден момент зависи от състоянието му в момента, предшестващ дадения.

Ако началните данни се изменят дори с нищожно малки величини, да кажем, съизмерими с колебанията на числото на Авогадро (от порядъка на 10-24), проверката на състоянието на атрактора ще покаже абсолютно различни стойности.

Причината е, че малките разлики се увеличават в резултат на рекурсията.
Въпреки това обаче, графиката на атрактора ще изглежда достатъчно сходна.

Двете системи ще имат абсолютно различни значения във всеки даден момент от време, но графиката на атрактора ще остане същата, т.е. тя изразява общото поведение на системата.

Обяснението за неравномерното преместване на газа лежи на молекулярно ниво - все пак движението на атомите и молекулите във флуидите си е хаотично.

Молекулярните взаимодействия са много слаби, но те предизвикват случайните флуктуации, които водят до непредвидимите последствия.

Най-важната характеристика на странния атрактор е чувствителността му към началните условия ("ефекта на пеперудата").
И най-малкото отклонение от началните условия може да доведе до огромни различия в резултата.

"Ефектът на пеперудата" гласи:
"Когато в дъждовните гори на Амазония една пеперуда размаха крилца - тя предизвиква ураган в Мексико". Дали наистина можем да разчитаме на пеперудите?
Какво прави пеперудата? Измества една точка във фазовото пространство, което представя метеорологичното време. Да допуснем, че тази точка лежи на един макар и много сложен и многомерен атрактор - малък размах на пеперудата може да отдели точка от атрактора само за много кратко време, след което бързо се връща на същия атрактор в да кажем, близка, съседна точка B.

Траекторията на отклонение A и B е експоненциална, но тъй като лежат на един атрактор, те генерират подобно поведение във времето.
Пеперудите сами не предизвикват ураганите (причините за тях са по-глобални), но могат да повлияят "леко" на това, кога точно ще се случат.


Характерно за нелинейните системи е това, че те имат различни атрактори.

Когато има повече от един атрактор, основният въпрос е:
„в кой от тези атрактори ще завърши системата?”

Всички термодинамични системи имат един точков атрактор - ентропията.
Всеки атрактор има басейн на привличане, който е обкръжаващата го област, пространството, което управлява, така че всички траектории, започващи в тази област, завършват в този атрактор.








Басейните, принадлежащи на различните атрактори, се разделят от тясна граница, която може да има много непостоянна форма. За начални позиции, близки до границата, е много трудно да се определи към кой атрактор ще бъдат привлечени.
Малки колебания могат да тласнат системата в един или друг басейн, и следователно, към един или друг атрактор.


Появата на такава граница, разделяща два атрактора, се нарича бифуркация.

Близката до границата система се държи хаотично, а в басейна нейното движение е предсказуемо - към атрактора.









Фрактал



Фракталът е свързан с хаоса така, както резултатът с процеса.

Природните фрактали се получават в резултат на някакво итеративно развитие, на генезис в неравновесни дисипативни среди, т.е. среди със загуба на енергия.
Естественият подбор води към определен вид като атрактор.

ТОВА СА ЕФЕКТИ НА САМОРЕГУЛАЦИЯТА.
Чувствителността на тези процеси към стартовите условия и към средата води до невъзможността за детайлно предсказване, винаги има място, макар незначително, на несходство на кристалите, организмите, обществените формации и други резултати на взаимодействие на частиците.
Но и сам динамичният хаос като процес може да има фрактален произход.

Басейните на привличане на много атрактори, както странни, така и обикновени, имат фрактална структура.
Фрактални са не само границите на басейните.
Фрактално преплетени могат да бъдат и самите басейни - те могат да са многослойно, фрактално разбъркани помежду си, могат да бъдат мултифрактали.
И най-малкият дрейф на параметрите на системата довеждат текущото състояние от една област в друга, което води до хаотичност и непредсказуемост на по-нататъшното поведение.
Мащабната инвариантност на фрактала не позволява да го измерим и локализираме в пространството.

Същите свойства са присъщи на атрактора, което го определя като фрактал.








Раждането… възраждането на фракталната геометрия става благодарение на Манделброт.
През 1982г. той публикува "Фракталната геометрия на природата".
Книгата предизвиква фурор в научните среди.


Тя обединява в единна система резултати на Кантор, Поанкаре, Фату, Жулиа, Хаусдорф, Пеано от периода 1875-1925г.


Така между неконтролируемия хаос и строгият ред на Евклид вече има нова зона -
тази на ФРАКТАЛНИЯ РЕД. /еволюция – бележката е моя/










...
Обекти, които днес се наричат фрактали, са открити и изследвани дълго преди появата на самата дума.

През 1872 Карл Вайерщрас открива пример за функция с неинтуитивното свойство да е непрекъсната навсякъде без да е диференцируема никъде (Функция на Вайерщрас). Графиката на тази функция в наши дни би била наречена фрактал.

1883 г. , Георг Кантор дава примери за подмножества на реалната права с необичайни свойства. Тези канторови множества (Прах на Кантор) също днес се определят като фрактали.

Опитвайки се да разберат обекти, подобни на канторовите множества, математици като Константин Каратеодори и Феликс Хаусдорф обобщават интутивната идея за размерност като вклюват и не цели стойности.

Итеративни функции в комплексната равнина са изследвани в края на 19 и началото на 20 век от Анри Поанкаре, Феликс Клайн, Пиер Фату и Гастон Жюлиа.

Без помощта на съвременната компютърна графика, обаче, те не са имали възможността да визулизират откритите от тях обекти.








През 1904 Хелге фон Кох, недоволен от твърде абстрактната и аналитична дефиниция на Вайерщрас, дава по-геометрично определение на подобна функция, която днес се нарича снежинка на Кох.

Идеята за самоподобни криви е доразвита от Пол Пиер Леви.
През 1938 той публикува Равнинни или пространствени криви и повърхнини, състоящи се от части, подобни на цялото, където описва две фрактални криви — C-крива на Леви и драконова крива на Леви.

Луис Фрай Ричардсън е пацифист и математик, изучавал причините за войната между две страни. Той търси зависимостта между размера на общата им граница и вероятността за влизане във война.
За целта изследва как се изменя получената дължина на границата при промяна на единицата за измерване.

Той публикува емпирична статистика, цитирана по-късно от Манделброт. Днес това са част от началото на съвременните изследвания на фракталите.

През 1960-те Беноа Манделброт започва да изследва самоподобността в публикации като - "Колко дълго е крайбрежието на Британия?"
Статистическа самоподобност и дробна размерност. Приемайки силно визуален подход, Манделброт установява връзките между клонове на математиката, несвързвани дотогава.
През 1975 той въвежда думата фрактал, за да опише самоподобните обекти, които нямат ясна размерност.









Ако крайбрежието на Британия се измерва с единица мярка 200-километрова отсечка, като двата края на отсечката едновременно опират в брега. След това отсечката се намалява наполовина и процесът на измерване се повтаря, а след това се намалява на една четвърт от първоначалната. Колкото по-малка е отсечката, толкова по-голям е крайният резултат. Може да се предположи, че тези стойности ще клонят към някакво крайно число, което ще е „реалната“ дължина на крайбрежието, но Ричардсън доказва, че всъщност измерванията на дължината на бреговата линия клонят към безкрайност.

Днес това са част от началото на съвременните изследвания на фракталите.

Беноа Манделбро (роден в Полша, но учил и живял като във Франция, така и в САЩ) обобщава множествата на Жюлиа, работейки в компютърните лаборатории на IBM пръв
- визуализира тези множества,
- открива тъй нареченото множество на Манделбро, познато още като Божия отпечатък;
- и не на последно място открива широко приложение на фракталната геометрия.


Интересно е за гения Манделбро, че до 3-4 клас не е знаел таблицата за умножение, по късно у него се събужда огромен интерес към математиката, и то не към класическата толкова, колкото към тази, която описва сложни и неправилни природни форми, която по-късно се оформя като така наречената фрактална геометрия. Всъщност той дава нейното начало. Манделбро споделя, че с лекота може да вижда какви форми стоят зад сложни алгебрични изрази (което му дава огромно предимство в работата).


Прилагането на компютърна визуализация към фракталната геометрия дава силен визуален аргумент за връзките на фракталната геометрия с далеч по-широки области на математиката и науката, отколкото се е смятало преди това, особено в областта на нелинейната динамика, теорията на хаоса и комплексните системи.
Пример за това е нютоновият фрактал - изобразяване на харакстеристики на решението по метода на Нютон като фрактал, което показва как границите между различните решения са фрактали, а самите решения са странни атрактори.

Фракталната геометрия се използва и при компресиране на данни и моделиране на сложни органични и геоложки системи.











...

Фрактална музика - себеподобие и усещане за безкрайност
Фрактали и музика
Фрактална музика

...

следва продължение:
Раждането на ТОПОЛОГИЯТА и значението й за съвременната математика.
Хилбъртовите проблеми - история на решените и история на тези, които остават нерешени.
Развитие на идеите в съвременната математика до наши дни.




...

Аааа,
гледайте, ако искате и това филмче от поредицата забавни филмчета на Морган Фрийман
"Има ли паралелна вселена - 1? "

"Има ли паралелна вселена - 2? "


/добре, че не се омъжих за физик, въпреки, че много ме привличат :))))), не съм за мъж с такова въображение :) /

...