вторник, 15 май 2012 г.

Приказка за висшата математика III част.

...

"Приказка за висшата математика I част."

"Приказка за висшата математика II част."




ПРОДЪЛЖЕНИЕ:

Мостът
от
Поанкаре до Перелман





Помните ли задачата за „Трите тела”, която подробно разказах в „Приказка за висшата математика II част”?
Тази задача става причина за появяването на теорията на хаоса, за развитието на фракталната геометрия, които идеи , на свой ред отвеждат Анри Поанкаре до неговата, оценена като най-важна заслуга за развитието на математиката и на теоретичната физика през 20-ти век - ОСНОВОПОЛАГАНЕТО на ТОПОЛОГИЯТА .

„ Всички различни пътища, върху които аз последователно се намирах, ме водеха към Analysis situs” ( т.е към топологията) - пише Поанкаре в своето Аналитично резюме" .

В една от първите книги по топология С. Лефшец пише:

„Може би в нито един дял от математиката Поанкаре не е оставил по-неизгладимо своя отпечатък отколкото в топологията" . И това се отнася за математика, който е въвел автоморфните функции, създал е теорията на динамичните системи, преобърнал е възгледите в небесната механика ... Действително, като се започне от въвеждането на основните понятия и методите за пресмятане чрез триангулация, мине се през най-дълбоките свойства на групите от хомологии и се стигне до мястото, където Поанкаре превъзхожда всички известни математици - да свърже различни области от математиката с топологията до такава степен, че да не може да се посочи коя е основната област.”

Поанкаре пръв забелязва обединяващата роля на топологията.
Това, че топологията е обединяваща наука личи също и от следния околонаучен аргумент. Доста повече от половината математици получили Филдсовска награда (математи¬ческата „нобелова" награда) са използвали съществено топологията в своите работи или просто са допринесли за развитието й.

Разбира се, Поанкаре не започва от „нищото”.
Има много предшественици, полагащи идеите, които ще основоположат топологията. Такива са Ойлер (със задачата си за Кьонигсбергските мостове или формулата на Ойлер, свързваща броя на стените, ръбовете и върховете на изпъкнали многостени); Риман и Бети (класифицирали двумерните компактни повърхнини).
Въпреки това е трудно да се каже, че тези постижения са представлявали последователна математическа дисциплина.

Преди Поанкаре може да се говори единствено за предистория на „алгебричната топология", защото полагането на основите на стройна наука с нейните основни понятия, факти, задачи и т.н. започва с така нареченият - хомеоморфизъм между две многообразия, с чието въвеждане, Поанкаре основополага и хомотопичната топология.

Този изключителен принос на Поанкаре към математиката носи началото си от на вид простичката история за седемте моста на Кьонигсберг.





Седемте моста на Кьонигсберг


Седемте моста на Кьонигсберг са съществували в Кьонигсберг (днешен Калининград) през XVI—XX век.
Взаимното разположение на мостовете навело математика Леонард Ойлер на размисли, които станали основа за възникването на теорията на графите.

Отдавна сред жителите на Кьонигсберг била разпространена такава задача: как може да се премине и то само по веднъж по всичките мостове? Много кьонигсбергчани се опитвали да решат тази задача, както теоретически, така и практически, по време на разходките си. Но никому не се удавало да докаже, че това даже теоретически е невъзможно.

През 1736 година задачата за седемте моста заинтересувала известния математик, член на Петербургската академия на науките Леонард Ойлер, за което той написал в писмо до италианския математик и инженер Мариони от 13 март 1736 година. В това писмо Ойлер пише за това, че е намерил правило, по което лесно се определя, може ли да премине по всички мостове, без да се мине два пъти по някой от тях (в случая със седемте моста на Кьонигсберг това е невъзможно).

В хода на разсъжденията Ойлер стигнал до следния извод:
Броят на нечетните върхове (върхове, от които излизат нечетен брой ребра) на графа винаги е четен. Невъзможно е да се начертае граф, който да има нечетен брой нечетни върхове.

Ако всички върхове на графа са четни, то може, без да се вдига молива от листа, да се начертае граф, при това може да се започне от кой да е връх на графа и се завърши в същия връх. Граф с повече от два нечетни върха е невъзможно да се начертае с един замах. Графът на Кьонигсбергските мостове имал четири нечетни върха, следователно било невъзможно да се премине, и то само по веднъж по всичките мостове.

Няма път, който да не прекоси, поне един мост два пъти.

Решението на задачата е концептуален скок.

Ойлер осъзнава, че разстоянието между мостовете не е важно. Важен е начинът, по който ТЕ СА СВЪРЗАНИ.




От този уж простичък проблем се ражда новата геометрия на положението, т.е ТОПОЛОГИЯТА.



Създадената от Ойлер теория на графите намира много широко приложение:
например,

използва се при изучаване на ТРАНСПОРТНИТЕ и КОМУНИКАЦИОННИ СИСТЕМИ, в частност, за маршрутизация на данните в Интернет, където не са важни разстоянията, а ВРЪЗКАТА между станциите.

В практическите задачи, графите представляват модел на реален обект.
Ето няколко класически примера за реални обекти представяни чрез граф:

- транспортна мрежа — може да се представи чрез претеглен граф, където върховете изобразяват селищата, а свързващите ги ребра — пътищата между тях. Теглото на всяко ребро ще представлява дължината на пътя.

- родословно дърво — насочен граф, в който хората се представят чрез върхове. Насочените ребра свързват родителите с децата им. Така към всеки връх ще сочат две ребра (всеки човек има двама родители), с изключение на върховете на родоначалниците, и от всеки връх ще излизат толкова ребра колкото деца е има съответния човек.

- компютърна мрежа — компютрите (върхове) и свързващите ги информационни канали (ребра).


Топологията се ражда на мостовете на Кьонигсберг, но Поанкаре доразвива теорията по изумителен начин.

Той създава нещо като нов начин за възприемане на формата.

Някои наричат топологията „гъвкава геометрия”. Тя е раздел от математиката, по-точно от геометрията и се занимава с явленията на НЕПРЕКЪСНАТОСТ, особено тези, които остават непроменени при деформации. Тя изследва начините, по които фигурите се деформират, без да променят основните си елементи. Топологията се използва всеки ден. На практика всички карти за метрото се основават на топологичен принцип.

В топологията две форми са еднакви, ако могат да се усучат или деформират без формата им да се „разложи”. Топологията се занимава с геометрични свойства на криви, повърхнини, и т.н., които остават неизменни при деформация на геометричните обекти - при разтягане, огъване, но без късане или лепене. При нея например окръжност и триъгълник са едно и също.

Топката за ръгби и футболната топка са топологично еднакви, защото едната може да се превърне в другата. По същата причина поничката и чашата за чай са идентични.
Дори по-сложните форми могат да се опростят и сведат една в друга.


От топологична гледна точка, спрямо двумерното пространство, изглежда така, че няма начин, по който поничката да се деформира, така че да се получи топка. Дупката в средата прави формите топологически различни.

Поанкаре познавал всички възможни двуизмерни топологични повърхности. Но през 1904 г. той попада на проблем, за който не открива решение.

В плоската двуизмерна система Поанкаре би могъл да изчисли всички възможни форми около които да я усуче. Напр. топка или поничка с 1, 2 или повече дупки, но ние живеем в триизмерна вселена.

Така че, каква форма би могла да заеме тя?

Този въпрос става известен като хипотезата на Поанкаре.

Хипотезата, грубо казано, е свързана с привеждането на многомерните топологически данни на езика на алгебрата.
Счита се, че съвременната математика се характеризира преди всичко с алгебризацията си. Поанкаре не е алгебрист (макар да има фундаментални работи и там).
По своя начин на мислене Поанкаре е естествоизпитател, физик, а на математически език – геометър.

За решението на многомерните аналози на „хипотезата на Поанкаре” (т.е. за четиримерни, петмерни и т.н. сфери) са дадени две „Филдсофски премии”- на С.Смейл и на М. Фридман.

Но истинският проблем на Поанкаре е за тримерната сфера. „Хипотезата на Поанкаре” е сред седемте най-важни математически задачи на хилядолетието. Тя е поставена в списъка на най-важните проблеми за новия век. За решението й, институтът „Клей” предоставя награда от 1 милион долара.

Целта на хипотезата е ДА БЪДЕ РАЗБАРАНА ФОРМАТА НА ВСЕЛЕНАТА ЧРЕЗ ВРЪЗКА МЕЖДУ ФОРМИТЕ, („празните”) ПРОСТРАНСТВАТА И ПОВЪРХНОСТИТЕ.


Тя засяга геометричните свойства на телата, които не се променят дори ако са подложени на опън, на сгъване или на свиване.
Хората, които не са математици, трудно разбират хипотезата.
Тя се отнася до геометрията на многоизмерните пространства и е ключът към топологията. Въпросът е изключително важен и за математиката, а и за физиката, защото се опитва да разбере каква е „формулата на Вселената”.

Колко далеч напред от времето си е отишъл Поанкаре в своите топологични изследвания личи от факта, че неговата хипотеза, според която тримерната сфера се характеризира със своята (въведена от Поанкаре) фундаментална група Е ДОКАЗАНА ПОВЕЧЕ ОТ ВЕК след нейната формулировка в 2004 г. от петербуржеца Григорий Перелман – един от най-странните математици за всички времена, известен със своята непонятна за много хора ексцентричност.


Перелман търсел решението на хипотезата на Поанкаре цели 8 години и решава проблема с помощта на ДРУГ ВИД МАТЕМАТИКА, която изобретява. Той разглежда динамиката на начина, по който „обектите” биха могли да се „СТИЧАТ”(„изливат), (преливат), така той описва всички варианти на деформацията на триизмерното пространство в по-висши измерения.

Много математици се надяват да се срещнат с Перелман и той да им разясни своето доказателство, да им помогне да го разберат, но се оказва, че да открие човек Перелман е по-трудно, отколкото самото уравнение. В известен смисъл разработките му, теориите му, говорят достатъчно.

За своето откритие Перелман е получавал редица награди, канен е в най-престижните световни университети, но отказва всички предложения.

Той проявява ексцентричност дори в начина, по който оповестява гениалното си откритие. Вместо да го публикува в уважавано научно списание, той просто поместил работите си в интернет сайт.
След проверката, продължила цели четири години, научната общност обаче достига до заключението, че решението, което Перелман предлага, е вярно. Следователно руският гений трябва да получи наградата от един милион. Той обаче обявява, че не желае парите, тъй като смята, че комисията, присъждаща му наградата, не е достатъчно квалифицирана, за да оценява работата му.

На Перелман е присъдена и най-престижната в математическите среди международна награда "Филдс", която е математическият аналог на Нобеловата награда в 2006 г., но той отказва и нея. Перелман избягва да говори с журналисти и е смятан за доста ексцентричен дори в странния свят на математиците. От 2005 година Перелман е без работа заради разногласия с водещия математически институт "Стеклов" към Руската академия на науките, започнали още през 2003 г. Когато институтът не подновил избора му за член, Перелман "се почувствал недостоен и без талант", казва негов приятел. Той постепенно изпада в криза и се откъсва от света.

Говори се, че е обърнал гръб на математиката и живее като отшелник в скромен жилищен комплекс, със своята майка, в скромен панелен апартамент в Санкт Петербург.

Перелман отказва да стане милионер. В ерата на „Биг Брадър” и „големите пари” е благородно, че го интересува доказването на теореми, а не печеленето на награди.









...

следва продължение

...







Биографично за Перелман:

Григорий Перелман е роден на 13 юни 1966 г. в Ленинград (днес Санкт Петербург) в еврейско семейство. От 5 клас се занимава в математически център при градския дворец на пионерите под ръководство на доцент Сергей Рукшин. През 1982 г. в състава на отбора на съветските ученици завоюва златен медал на международна математическа олимпиада в Будапеща. Завършва физико-математическо училище.

Приет е без изпити в Математико-механическия факултет на Ленинградския държавен университет. Побежда на факултетни, градски и всесъюзни студентски математически олимпиади. За отличен успех получава Ленинска стипендия. Завършва университета с отличие и постъпва в аспирантура (с ръководител академик А. Д. Александров) при Математическия институт „В. А. Стеклов“ (ПОМИ) в Санкт Петербург на Руската академия на науката. Защитава през 1990 г. кандидатска дисертация и остава в института да работи като старши научен сътрудник.

От началото на 1990-те год. до 1996 г. работи като научен сътрудник в университети в САЩ, след което се завръща в ПОМИ. През декември 2005 г. напуска поста водещ научен сътрудник в лабораторията по математическа физика в института. Практически напълно прекъсва контакт с колегите си. Не проявява интерес към по-нататъшна научна кариера . Живее с майка си, води твърде закрит начин на живот, избягва журналисти.

- През 1994 г. Г. Перелман доказва Хипотезата за душата. (Soul theorem).

- Бидейки представител на Ленинградската геометрическа школа, развива и прилага ленинградската теория на пространствата на Александров за анализ на потоци на Ричи.
- През 2002 г. Перелман за първи път публикува своята новаторска работа, посветена на решаването на частен случай на хипотезата за геометризация на Уилям Търстон (William Thurston), от която следва справедливостта на знаменитата хипотеза на Поанкаре, формулирана от френския математик, физик и философ Анри Поанкаре през 1904 г. Описаният от него метод за изучаване на потока на Ричи получава названието теория на Хамилтън-Перелман. 1996 г. - удостоен с премия на Европейското математическо дружество за млади математици, но отказва да я получи.

2006 г.: за решаване на хипотезата на Поанкаре му е присъдена международната премия «Филдсов медал», обаче се отказва и от нея; списание „Сайънс“ нарича доказването на теоремата на Поанкаре научен «пробив на годината» («Breakthrough of the Year»), като това е първата работа по математика, заслужила такова звание.

2007 г. - британският вестник „Дейли Телеграф“ публикува списък на «100-те живи гении», в който Григорий Перелман заема 9-то място преди другите 2 граждани на Русия (Гари Каспаров на 25-то място и Михаил Калашников на 83-то място).
Март 2010 г. - американският Математически институт „Л. Клей“, Кеймбридж, щ. Масачузетс му присъжда премия в размер на 1 милион ам. долара за доказване на хипотезата на Поанкаре, станало първото в историята присъждане на премията за решаване на задача от Задачите на хилядолетието. През юни 2010 г. Перелман не уважава с присъствието си математическата конференция в Париж, на която се предполагало да му се връчи «Премията на хилядолетието», а на 1 юли 2010 г. публично заявява за своя отказ от премията.






...







Биографично за Поанкаре




След тридесет години напрегната научна работа Анри Поанкаре оставя огромно математическо наследство, обхващащо най-различни дялове на математиката:
топология, теория на вероятностите, неевклидова геометрия, теория на диференциалните уравнения, теория на автоморфните функции, комплексен анализ и много други, като изследва и връзките между отделните дялове. Неговите работи, публикувани от Парижката академия на науките, изпълват 10 тома. Разработва - още преди 1884 г., теорията на автоморфните функции, които той нарича фуксови функции. През 1895 г. публикува „Analysis situs“ (букв. „Анализ на положението“), което се счита за първото системно изложение на топологията. Създател е на теорията на функциите на много комплексни променливи (многомерен комплексен анализ) и на алгебричната топология. Има съществен принос в алгебричната геометрия (дава доказателства на твърдения на Севари, Енрикес и Кастелнуово), както и в теорията на числата.

Занимава се също с решаването на различни задачи от астрономията и небесната механика. Доказва неинтегрируемостта на уравненията за движение на три тела. Въвежда методите на малкия параметър, на неподвижните точки, разработва теорията на интегралните инварианти. Впоследствие развива теорията на хаоса.

В областта на физиката изучава и допринася за развитието на: теорията на еластичността, термодинамиката, оптиката, електричеството, космологията и др. Има съществен принос в развитието на теорията на относителността. Именно в неговите трудове за първи път е формулирана в достатъчно пълна и ясна математическа форма специалната теория на относителността.
През 1904 - 1905 г. изказва принципа на относителността, въвежда термините „преобразувания на Лоренц“ и „групи на Лоренц“ и показва, че е невъзможно да се констатира абсолютно движение, като се изхожда от представите за етера и уравненията на Максуел - Лоренц. Така Поанкаре прави решаващата крачка към създаването на теорията на относителността. Той дава изходните принципи на новата теория, дошла да смени класическата механика и наложила преразглеждане на физичните представи за пространството и времето.

Необратимостта на термодинамичните процеси и дифракцията на светлината, космогоничните хипотези и природата на рентгеновите лъчи, теорията на морските приливи и безжичния телеграф - навсякъде той оставя незаличимите следи на универсалното си дарование.


Като философ Поанкаре е известен с трудовете си по общометодологичните проблеми на науката, клони към махизма.

Той е носител на редица международни научни награди и медали като наградите „Жан Рейно“, „Бояй“ и „Лобачевски“, участва в научни конгреси и конкурси, чете лекции в Берлин, Лондон и др. градове извън Франция. Полага и значителни усилия за популяризирането на науката във Франция по онова време, като пише редица научнопопулярни статии.

Ученик на Анри Поанкаре е видният наш математик Кирил Попов.





...

Няма коментари:

Публикуване на коментар