вторник, 18 декември 2012 г.

Повече светлина върху природата на парадокса II. част.

...

ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИ ПАРАДОКСИ





Най-прочутият парадокс от тази група е за „класа на всички класо­ве, които не са членове на себе си". 
Той се основава на следните пред­поставки. 
Класът е целокупността от всички обекти, имащи определе­но свойство. Така всички котки - минали, настоящи и бъдещи - състав­ляват класа на котките. След като сме установили този клас, останала­та част от всички други обекти във Вселената могат да се разглеждат като класа на не-котките, защото всички тези обекти имат едно опреде­лено общо свойство: те не са котки.


Всяко твърдение, че даден обект принадлежи и на двата класа, ще е просто противоречие, защото нищо не може да бъде котка и не-котка едновременно. 
Тук не е станало нищо необикновено: появата на това противоречие просто доказва, че е бил нарушен основен закон на логиката, но самата логика не страда от това. 
Оставайки отделните котки и не-котки на мира и издигайки се едно ниво по-нагоре, нека погледнем какво са самите класове. 
Лесно вижда­ме, че класовете могат или да са членове на себе си, или да не са. 
На­пример класът на всички понятия очевидно е понятие, докато нашият клас на котките не е котка. 
Следователно на това второ равнище Вселе­ната отново е разделена на два класа:

тези, които са членове на себе си, и онези, които не са. 
Отново всяко твърдение, че един от тези класове е и не е член на себе си, ще е просто противоречие, което трябва безцеремонно да се отхвърли. 
Същевременно, ако аналогичната операция се повтори още веднъж на следващото ниво, внезапно се изправяме пред катастрофа. 
Трябва единствено да обединим всички класове, които са членове на себе си, в един клас, който ще наречем М, а всички класове, които не са членове на себе си - в клас N. 
Ако сега изследваме дали клас N е или не е член на себе си, се натъкваме директно на прочутия парадокс на Ръсел. 
Да не забравяме, че разделението на Вселената на класове на членуване в себе си и на нечленуване е изчерпателно: по определение не може да има никакви изключения. Следователно това деление трябва да е при­ложимо в еднаква степен за самите класове М и N.

Следователно, ако клас N е член на себе си, не е член на себе си, защото N е класът на класовете, които не са членове на себе си. 
От друга страна, ако N не е член на себе си, тогава удовлетворява условието за членство в себе си: той е член на себе си точно защото не е член на себе си, тъй като не-членството е съществената разграничаваща характеристика на всички класове, изграждащи N. 
Това вече не е просто противоречие, а истин­ска антиномия, защото парадоксалният резултат се основава на строга логическа дедукция, а не на нарушаване на законите на логиката. 
Ос­вен ако няма някаква скрита заблуда в цялата идея за класа и членство­то, е неизбежно логическото заключение, че клас N е член на себе си само и единствено ако не е член на себе си, и обратно. 
Фактът е, че тук наистина е включен погрешен извод. Това става ясно благодарение на Ръсел и въвеждането на неговата теория за логи­ческите типове. 
Много накратко, тази теория постулира фундамен­талния принцип, че - както се изразява Ръсел (Russell, 1910-1913) - всичко, което включва целия сбор от неща, не бива да е част от сбора. С други думи, парадоксът на Ръсел се дължи на объркване на логичес­ките типове, или нива. 
Класът е от по-висок тип в сравнение с членове­те си. За да го постулираме, трябва да се изкачим едно равнище по-нагоре в Йерархията на типовете. Следователно да кажем - както на­правихме, че класът на всички понятия сам по себе си е понятие, не е НЕВЯРНО, но е безсмислено, както ще видим след малко. Това разграни­чение е важно, защото, ако твърдението беше просто невярно, тогава отрицанието му трябваше да е вярно, което чисто и просто не е така.







ПАРАДОКСАЛНИ ДЕФИНИЦИИ




Този пример за класа на всички понятия осигурява удобен мост, по който сега можем да преминем от логическите към семантичните па­радокси (парадоксалните дефиниции или семантичните антиномии). 
Както видяхме, „понятие" на „по-ниско (членско) равнище и „понятие" на следващото по-високо (клас) ниво не са идентични. 
Същевременно и за двете се използва едно и също име - „понятие" - и така се създава езиковата илюзия за идентичност. 
За да избегнем този капан, винаги когато има възможност за объркване на равнищата, трябва да се из­ползват маркери за логическия тип - индекси във формализираните системи, кавички или курсив в по-общата употреба. Тогава става ясно, че в нашия пример понятие 1 и понятие 2 не са идентични и че идеята за членство в себе си на даден клас трябва да се отхвърли. Нещо пове­че: става ясно, че в тези случаи коренът на злото са непоследователно­стите на езика, а не на логиката. 
Може би най - прочутият от всички семантични антиномии е тази за човека, който казва за себе си: „Аз лъжа." 
Следвайки това твърдение до логическото му заключение, отново откриваме, че то е вярно само ако не е вярно; 
с други думи, човекът лъже само ако казва истината и, об­ратното, казва истината само ако лъже. 
В този случай теорията за логи­ческите типове не може да се използва за елиминиране на антиномия­та, защото думите или комбинациите от думи нямат йерархия на логическите типове. 
Доколкото знаем, отново Бертранд Ръсел пръв стига до решение. 
В последния параграф на въведението му към Tractatus Logico-Philosophicus („Логико-философски трактат") на Витгенщайн, почти между другото, той издига идеята, че „всеки език има - както казва г-н Витгенщайн - структура, за която в езика не може да се каже нищо, но може да има друг език, занимаващ се със структурата на първия език и имащ нова структура, и тази йерархия от езици не може да има граница" (Russell, 1951, p. 23).


Идеята е разработена предимно от Кар­нап и от Тарски в това, което днес е известно като теория за нивата на езика. 
По аналогия с теорията за логическите типове тази теория пред­пазва от объркване па равнищата. 
Тя постулира, че на най-ниското рав­нище на езика се правят твърдения за обекти.

Това е царството на езика на обектите. В момента, в който искаме да кажем нещо за езика обаче, трябва да използваме МЕТАЕЗИК и МЕТАМЕТАЕЗИК, ако искаме да говорим за този метаезик, и т. н. в теоретично безкраен регрес. 
Прилагайки тази концепция за нивата на езика към семантичната антиномия за лъжеца, може да се види, че това твърдение, макар и състо­ящо се само от две думи, съдържа две твърдения.


Едното е на ниво обекти, а другото - на метаниво и казва нещо за онова на нивото на обектите, а именно че то не е вярно. 
В същото време, почти като фокус на магьосник, то внушава, че това твърдение на метаезика само по себе си е едно от твърденията, за които се прави метатвърдението, че само по себе си то е твърдение на езика на обектите. 
В теорията за нивата на езика този вид саморефлексивност на твърденията, включващи собст­вена истина или неистина (или аналогични свойства, например демонстрирусмост, дефинируемост, установимост и други подобни), са ек­вивалентът на понятието за членството в себе си на даден клас в теори­ята за логическите типове: и двете са безсмислени твърдения. (Чудесен пример в контекста на взаимодействието на саморефлексивно твърде­ние, което отрича собственото си утвърждаване.) 
Разбира се, ние с голямо нежелание следваме доказателството на логиците, че твърдението на лъжеца е безсмислено. Някъде трябва да има уловка и това чувство е дори още по-силно при друго прочуто па­радоксално определение. 
В малко селце - гласи историята - има бръснар и той бръсне всички мъже, които не се бръснат сами. Отново тази де­финиция, от една страна, е изчерпателна, но от друга - води директно към парадокс, ако човек се опита да класифицира самия бръснар в групата на бръснещите се сами или в тази на небръснещите се сами. И отново строгата дедукция доказва, че не може да има такъв бръснар, но ние оставаме с неловкото чувство: „Защо не?". 
С това упорито съмне­ние наум нека погледнем поведенческите (прагматичните) последст­вия от парадокса.






ПРАГМАТИЧНИ ПАРАДОКСИ





Парадоксални предписания



Макар че парадоксът на бръснаря почти винаги се представя в ци­тираната по-горе форма, съществува поне една леко различна негова версия. 
Тя е използвана от Райхепбах (Reichenbach, 1947) и в нея - оче­видно без някаква конкретна причина - бръснарят е войник, на когото капитанът нарежда да обръсне всички войници от ротата, които не се бръснат сами, но не и останалите. 
Райхенбах, разбира се, достига до единственото логично заключение: „Няма такова нещо като бръснар на ротата в дефинирания смисъл." 
Каквито и да са основанията на автора да представи историята в малко необичайна форма, това ни осигурява пример на преди всичко прагматичен парадокс. В крайна сметка няма причини такова предпи­сание да не може да се даде независимо от логическата му абсурдност. Съществените съставки на това възможно събитие са следните:



(1) Силно взаимодопълващо се взаимоотношение (офицер и под­чинен). 
(2) В рамката на това взаимоотношение се дава предписание, което изисква подчинение, но човек трябва да не се подчини, за да се подчини (заповедта дефинира войника като са-мобръснещ се само и единствено ако той не бръсне себе си, и обратното). 
(3) Човекът, заемащ по-долната позиция в това взаимоотноше­ние, е неспособен да излезе от рамката и по този начин да разреши парадокса, като го коментира, т. е. метаком у пикира за него (това би се равнявало на „неподчинение"). 

Попадналият в такава ситуация човек е в незащитима позиция. Следователно, макар от чисто логическа гледна точка заповедта на ка­питана да е безсмислена и бръснарят уж да не съществува, ситуацията изглежда много различна в реалния живот. Прагматичните парадокси, особено парадоксалните предписания, в действителност са много по­-чести, отколкото сме склонни да мислим. В момента, в който започнем да разглеждаме парадокса в контекста на взаимодействието, явлението престава да е просто очарователно научно занимание на логика и фи­лософа и става въпрос с ярко практическо значение за психичното здраве на комуннкаторите, било то индивиди, семейства, общества или на­ции. 

Следват няколко примера, простиращи се от чисто теоретичен модел през други, взети от литературата и близки области, до клинич­ни случаи.






Примери за прагматични парадокси






Пример 1:


Синтактично и семантично правилно е да се напише Чикаго е гъсто населен град, но ще е неправилно да се каже Чикаго е трисричков, защото в този случай трябва да се използват кавички: „Чи­каго" е трисричков. Разликата в тези две употреби на думата е, че в първото твърдение тя се отнася до обект (град), докато във второто съща­та дума се отнася до име (което е дума) и следователно до себе си. 
Двете употреби на думата ,Чикаго" следователно са от различен логи­чески тип (първото твърдение е на езика на обектите, второто е на ме­таезик) и кавичките служат като маркери на логическия тип. (срв. Nagel, 1958, pp. 30-31 и следващите)* 

*На този етап трябва да се отдаде дължимото на математика Фреге, които още през 1893 г. предупреждава: „Вероятно честата употреба на кавичките ще изглеж­да странна. Чрез тях аз диференцирам случаите, о които творя за самия 'знак, и тези, в които говоря за неговото значение. Колкото и педантично да изглежда това, все пак твърдя, че то е необходимо. Забележително е как неточният маниер на говорене или на писане, който първоначално може да е бил използван единствено за удобство и краткост с пълно съзнание за неточността му, в крайни сметка може ди обърка мисълта, след като съзнанието се е изпарило." (Fiege, 1893, p. 4, курсивът е наш.) 

Нека сега си представим странната възможност някой да конден­зира двете твърдения за Чикаго в едно {Чикаго е гъсто населен град и е трисричков), диктувайки го на секретарката си и заплашвайки да я уволни, ако не е в състояние да го напише правилно. 
Разбира се, тя не може (нито пък ние). 
Какви тогава са поведенческите ефекти от тази комуникация? - защото това занимава прагматиката на човешкото об­щуване. 
Глупостта на настоящия пример не бива да ни разсейва от те­оретичната му значимост.
Не може да има съмнение, че комуникация­та от този вид създава незащитима ситуация. 
Тъй като съобщението е парадоксално, всяка реакция на него в рамката, поставена от съобще­нието, трябва да е еднакво парадоксална. 
Просто не е възможно да се държите консистентно и логично в неконсистентен и нелогичен кон­текст. 
Докато остане в рамката, поставена от нейния работодател, сек­ретарката има само две алтернативи:
- да се опита да се подчини и,  
- раз­бира се, да се провали, или да откаже да го напише. 

В първия случай може да бъде обвинена в некомпетентност, а във втория - в неподчине­ние. Трябва да се отбележи, че от тези две обвинения първото внушава интелектуален дефицит, а второто - злонамереност. 
Това не е твърде различно от типичните обвинения в лудост или лошотия. И в двата случая е вероятно тя да реаги­ра емоционално, например като се разплаче или се разгневи. На всичко това може да се възрази, че никой със здрав разум няма да се държи като този въображаем шеф.
Това обаче е обаче е nоn sequitur.т латински - отговор, който няма релевантност на предхождащото; в логи­ката - заключение, което не следва от предпоставките. - Б. пр.)
Защото поне на теория - а много вероятно и от гледна точка на секретарката - същест­вуват две възможни реакции на такова поведение: или шефът си търси претекст, за да я уволни, и използва този гаден номер за целта, или той не е на себе си. Забележете, че отново лошотията или лудостта сякаш са единствените обяснения.
Съвършено различна ситуация възниква, ако секретарката не оста­не в рамката, определена от предписанието, а го коментира, с други думи, ако не реагира на съдържанието на заповедта на шефа, а комуни­кира за неговата комуникация.
Така тя излиза от контекста, създаден от него, и не е хваната в капана на дилемата.
Това обаче обикновено не е лесно.
Първо, е трудно да се комуникира за комуникацията. Секретарката ще трябва да посочи защо ситуацията е несъстоятелна и какво й причинява това, макар че сам по себе си този акт ще е голямо постижение. Друга при­чина метакомуникацията да не е просто решение на ситуацията е, че шефът, използвайки властта си, може много лесно да откаже да приеме нейната комуникация на метаравнище и да я определи като още едно доказателство за некадърността или нахалството й. 
Това преживяване на блокиране на метакомуникациите, за да се попречи на някого да се измъкне от несъстоятелна ситуация, е добре известно на Луис Карол.
След като Черната и Бялата царица са довели Алиса до лудост със своите въпроси те й веят с клонки листа, докато тя идва на себе си, и промиването на мозъка й продължава: -  Сега вече дойде на себе си – каза Черната царица. - Знаеш ли чужди езици? Преведи на френски „фидъл-ди-ди"!

- " „Фидъл-ди-ди" не значи нищо - отговори важно Алиса.

- Кой казва, че значи? -отвърна Черната царица.

Алиса помисли, че най-после е намерила начин да излезе от затруднението.

- Ако ми кажете на какъв език е „фидъл-ди-ди", аз ще ви го преведа на френски!" - извика тя тържествуващо. Но Черната царица се дръпна и важно каза:

- Човек не се пазари никога с царици!"




...

следва продължение

...

Повече светлина върху природата на парадокса

...



ПРИРОДАТА НА ПАРАДОКСА




Парадоксът е очаровал човешкия разум поне през последните две хиляди години и продължава да го прави и днес. В действителност ня­кои от най-важните постижения на този век в областта на логиката, математиката и епистемологията включват - или са тясно свързани с парадокса и най-вече развитието на математиката или теорията за доказателството, теорията за логическите типове и проблемите на консистентността, изчислимостта, установимостта и други. Като непосве­тени аутсайдери, фрустрирани от сложната и езотерична природа на тези теми, ние сме склонни да ги отхвърлим като твърде абстрактни, за да имат значение за живота ни.
Някои може би си спомнят класически­те парадокси от училище, но вероятно само като забавни странности. Но има нещо в природата на парадокса, което е от непосредствено прагматично и дори екзистенциално значение за всички нас.
Парадоксът не само може да нахлува във взаимодействието и да влияе върху поведението и психич­ното ни здраве, но и предизвиква вярата ни в консистентността, а следователно крайната стабилност и логичност на нашата вселена.
Нещо повече, преднамереният парадокс в духа на максимата „Клин клин избива" има съществен терапевтичен потенциал, а и парадоксите оказват влияние в някои от най-благородните начинания на човешкия ра­зум.
Отчитането на понятието парадокс е от централно значение и по ни­какъв начин не представлява оттегляне в кула от слонова кост.



Изследване на логическата основа на  парадокса


Дефиниция

Парадоксът може да се дефинира като противоречие, което следва коректна дедукция от логични предпоставки.
Тази дефиниция ни поз­волява да изключим незабавно всички онези форми на „фалшиви" па­радокси, които се основават на скрита грешка в разсъжденията или някакъв пропуск, преднамерено вграден в аргументацията.*
Същевре­менно обаче още на този етап определението се замъглява, защото де­лението на парадоксите на реални и фалшиви е относително.
Съвсем не е невероятно днешните логични предпоставки да се превърнат в утрешни грешки или пропуски.
Например парадоксът на Зенон за Ахил и костенурката, която той не можел да надмине, несъмнено е „истин­ски" парадокс, докато не е открито, че безкрайните, сливащи се серии (в този случай непрекъснато намаляващото разстояние между Ахил и костенурката) имат крайна граница. **
След като това откритие е напра­вено и радващото се дотогава на пълно доверие допускане се оказва невярно, парадоксът престава да съществува. Това се изяснява от Куин (Quine, 1962, pp. 88-89):
“Ревизията на някаква концептуална схема не е безпрецедент­на. Тя се случва по малко с всеки напредък в науката и става по ярко забележим начин при големите открития, например Ко-перниковата революция и промяната от Нютонова механика към Айнщайновата теория на относителността. Можем да се надя­ваме в течение на времето дори да свикнем с най-големите по­добни промени и да приемаме новите схеми за естествени. Имало е време, когато доктрината, че Земята се върти около Слънцето, е била наричана „парадокс на Коперник" дори от хора, които са я приемали. Може би ще дойде време, когато начини за изразяване на истината без имплицитни индекси или подобни предпазни мерки наистина ще ни звучат точно толкова безсмислено, колкото ги показват антиномиите.” ***


*

Типичен пример на този тип парадокс е историята за шестимата, които искали шест единични стаи, а ханджнята имал само пет. Той „решил" проблема, като завел първия човек в стая N° I и помолил друг от тях да почака там с първия за няколко минути. След това завел третия is стая № 2, четвъртия - в стая № 3, а петия - в стая № 4. След като направил това, ханджията се върнал в стая I, взел шестия господин, който чакан там, и го настанил в стая № 5, Готово! (Греш­ката се крие във факта, че вторият и шестият човек се третират така, сякаш са един.)



**

За обяснение на този парадокс и неговата погрешност вж. Norlhrop, 1944.



***

Антиномия (от старогръцки – αντι и νoμoς – против, срещу, преди; и закон; буквално – „противозаконие”, „противопоставяне на два закона”) е термин, възприет от различни науки за обозначаването на някакво противоречие, било на фундаментално, било на конкретно ниво. При това противорачащите си гледни точки са еднакво доказуеми по логичен път. Антиномията е противоречие между две взаимно изключващи се положения или два прин­ципа, които еднакво убедително могат да се доказват по логически път (напри­мер „Светът е безкраен" и „Светът е краен"). - Б. пр.







Трите типа парадокси



„Антиномиите" - терминът, който поясних в предходното изречение изисква обяснение.
„Антиномия" понякога се използва като синоним на „парадокс", но повечето автори предпочитат да ограничат употребата му до парадоксите, възникващи във формализираните системи като логика и математика.
 (Възможно е читателят да се чуди къде другаде могат да възникнат парадокси. Парадокси могат еднакво добре да се появяват в областите на семантиката и прагматиката, както и навлизат в човешкото преживяване на битие­то.)
Според Куин (Quine, 1962, pp. 85) антиномията „създава вътрешно противоречие чрез приети начини на разсъждение".
Щегмюлер (Stegmuller, 1957, p. 24) е по-конкретен и дефинира антиномията като твърдение, което е едновременно противоречиво и доказуемо.
Следо­вателно, ако имаме твърдението Sj 
и второ твърдение, което е отрицание на първото, - S j (което означава не Sj, или Sj е невярно"),
двете могат да се комбинират в трето твърдение Sk,
при което Sk = Sj + -Sj 
Така получаваме формално противоречие, защото нищо не може да е едно­временно себе си и не себе си, т. е. едновременно вярно и невярно.
Щегмюлер обаче продължава: ако може да се покаже - чрез дедукция, - че както Sj, така и неговото отрицание -Sj са доказуеми, тогава и Sk е доказуемо и сме изправени пред антиномия.
Следователно всяка антиномия е логическо противоречие, макар че - както ще видим - не всяко логическо противоречие е антиномия.
Е, съществува и втори клас парадокси, които се различават от ан­тиномиите само в един съществен аспект: те не се появяват в логичес­ки или математически системи и следователно не се базират на терми­ни като формален клас и брой, а по-скоро възникват от някои скрити непоследователности в нивовата структура на мисленето и езика.*


*

 При правенето на това разграничение следваме Рамзи (Ramsey, 1931, p. 20), който въвежда тази класификация:



Група А:   


(1) Класът от всички класове, които не са членове на себе си.

(2) Отношението между две отношения, когато едното няма отно­шение с другото.

(3) Противоречието на Бурали Форти за най-голямото редно чис­ло.



Група В:   
(4)  „Аз лъжа." 
(5) Най-малкото цяло число, което не може да се назове с по-малко от 19 срички.
(6) Най-малкото неопределено цяло число.
(7) Противоречието на Ричард.
(8) Противоречието на Уейл за „хетероложното".

(Трябва да се отбележи, че Рамзи предпочита термина „противоречие в теори­ята за агрегатите", а не „парадокс".) Всички тези парадокси са описани в Bochfinski, 1961.



Вто­рата група често се нарича семантични антиномии или парадоксални дефиниции.

И накрая, има трета група парадокси, която е най-малко изследва­на. Те представляват най-голям интерес за психологията (системно ориентираните психотерапии), защото възник­ват от съществуващите взаимодействия, в които детерминират поведе­нието.

Нека наречем тази група прагматични парадокси. Прагматичните парадокси могат да се разделят на парадоксални предписания” и пара­доксални предвиждания”.


В обобщение: съществуват три типа парадокси:



(1) логико-математически парадокси (антиномии);

(2) парадоксални дефиниции (семан­тични антиномии);

(3) прагматични парадокси (парадоксални предпи­сания и парадоксални предвиждания), ясно съответстващи на трите основни области:

първият тип - на логическия синтаксис,

вторият - на семаитиката,

а третият - на прагматиката.



Може да се представят примери за все­ки тип, както и да се докаже как малко известните прагматични парадокси израстват, така да се каже, от другите две форми.



...

следва продължение: "Логико-математически парадокси"




... 

източници: "Изследване на моделите, патологиите и парадоксите на взаимодействието" - Пол Вацлавик, Джанет Бивиан Бавелас, Дон.Д. Джаксън,



...

четвъртък, 30 август 2012 г.

Музиката на простите числа I част.

...


Една приказка разказана от Маркус Дьо Сатой
и записана от мен.


От две хиляди години насам една математическа загадка озадачава най-великите умове на света. Трудността й измъчвала тези дръзнали да се захванат с нея. Но какъв е този „Свещен Граал” на математиката?

Мистерията тормозила учените векове наред е загадката на простите числа.
Изглежда, че те се появяват без какъвто и да било порядък. Сякаш няма закономерност в разпределението им. Векове наред математиците са се опитвали да ги разгадаят.
Тази главоблъсканица обаче става основа и в създаването на компютъра, и в разгадаването на атома – основната единица на материята.
Днес целият финансов свят онлайн зависи от непробиваемостта на загадката на простите числа. Решението на тази загадка може да го докара до срив. Нищо чудно, че предлагат 1 милион долара на този, който я разреши.

Това е разказ за опиталите да разгадаят простите числа.

Заобиколени сме от числа. Те са навсякъде. Не го осъзнаваме, но числата са неизменна част от живота ни. Те ни помагат да разбираме околния свят. Помагат ни да общуваме.
Числата са двигателят на съвременния начин на живот.
Когато пътуваме с кола или самолет, когато гледаме телевизия или си пускаме CD… или вдигаме телефона, или готвим, ние сме зависими от математиката. Без математиката тези неща нямаше да ги имаме.Числата са неразривна част от ежедневието ни.

Най-важни от всички са простите числа.
Но какво представляват простите числа?
Защо са толкова важни?

Всяко дете учи за тях в училище. Просто число се дели само на себе си и на 1.
Но, това което не ни учат, е защо тези числа са толкова важни.

Те са тухлите на математиката. Чрез умножението на простите числа се получават всички останали.

Напр. числото 105 се дели на простото число 3, умножено по простото число 5 , умножено по простото число 7. Всяко число може да се разбие на прости числа.
От простите числа получаваме всички други, както и цялата наука.
Те са водородът и кислородът в света на числата – атомите на математиката.

Нищо чудно, че математиците винаги са били заинтригувани от тях. За математиците простите числа са сърцето на науката.

Простите числа са толкова важни, че природата ги е открила много преди нас.
Ето пример:
В гората на северна Америка живеят цикадии. Те ползват прости числа за еволюционното си оцеляване.

17 г. тези насекоми – цикадиите живеят под земята и се хранят с дървесни корени. И след 17 годишна тишина излизат на повърхността, в гората и се отдават на 6 – седмична „веселба”, издават невероятно силен шум, който подлудява местните. Цикадиите се хранят, чифтосват се, размножават се, снасят яйца и след 6 седмици умират. В гората настава тишина за още 17 години.

Но защо „са избрали” точно 17 години да стоят под земята?
Преди време е имало хищник, който развалял партито им. Той също се появява периодично в гората. Цикадиите „открили”, че ако изберат цикъл от просто число, той няма да се съвпада с появата на хищника възможно най-дълго. Простите числа стават ключ към оцеляването на цикадиите.

Първите хора също открили, че броенето увеличава шансовете им за оцеляване.
При нападение от животно, реакцията или бягство, или нападение. Да се бият или да избягат зависело от преценяването на силите. Жизнено важно е било да се види, чий брой (численост) е по-голям.

Първите разбрали истинската значимост на простите числа били древните Гърци.
Те поставили основите, които математиците надграждат и до днес.
Гърците смятали, че числата са навсякъде. Мотото на Питагорейците било : „Числото е всичко.”

Гърците разбрали умножението. Знаели, че има и числа, които не се делят. Това са простите числа. Библиотеките в древна Гърция се запълвали с таблици описващи все по-големи прости числа. Може би някой древногръцки математик бил решил да стане известен като събере всички прости числа в таблица. Но около 300 год. преди Христа, Eвклид , първият гений в математиката, открил, че това е невъзможно.

Обяснил защо всеки, който опита да го направи ще смята цял живот. Доказал, че простите числа са безкрайно много. Направил го с невероятна логическа находчивост. Евклид се запитал дали е възможно да има краен брой прости числа., които могат да се умножават взаимно и да дават следващото число.

Взел поредицата прости числа 2;3;5 и се запитал може ли всяко число да се получи от умножението на различни комбинации от 2;3; и 5. Евклид измислил как да създаде число, което не може да е образувано от тези три прости числа. Започнал като умножил списъка простите си числа. 2 x 3 = 6 x 5= 30 И тук идва най-гениалната му идея. Добавил единица – 1 и станало числото 31. То не се дели точно на нито едно от трите числа 2; 3 и 5. Винаги се получва остатък 1. Евклид знаел, че всяко число се получава като умножаваме прости числа. А 31? То не се дели на 2, 3 или 5.

Значи в списъка липсвали прости числа. Всъщност и 31 е такова. Евклид открил едно от тях. Но дори да го прибавел в списъка пак можел да направи същото.Колкото и да е голяма таблицата от нея винаги щяли да липсват числа. Така Евклид доказал, че простите числа са безкраен брой. Доказателството е прекрасен пример за математическа логика.

Но има нещо, което Евклид не успява да разбере.
Не открива начин да предвижда кои числа са прости. Не виждал закономерност, която да го ориентира. Ако си представите числата в права редица простите числа се появяват в случаен ред. Изглежда сякаш се появяват произволно като числата от лотарията или часовете на пристигане на автобусите в час – пик.

Възникнал въпросът има ли ред в тяхната поява?

Има ли как да отгатнем кога ще се появи просто число и какъв е принципът им на поява? Бихме ли могли да разгадаем, ако не напълно, то поне достатъчно , за да видим каква закономерност налагат в математиката.Когато се опитваме да предположим кога ще се появи просто число или когато търсим прости формули винаги грешим. Подобно на безбройните звезди в небето простите числа изглеждат пръснати безредно в света на числата. Някои са на групички. Други са отдалечени едно от друго. И изглежда, че няма никаква закономерност и логика на тяхната поява.

Всички мислят, че математиката е да решиш дълги числа и да събираш, но не това значи да си математик.
За мен математикът е най-вече търсач на закономерности.
Целта на математиката е откриването на закономерности, откриването на ред в хаоса от числа, чуването на музиката, която ги свързва.
А от всички числа, простите са най-голямото предизвикателство.
Тази привидна липса на закономерност в реда на простите числа обърква математиците още от времето на Евклид. Надвила е и най-големите умове на последните 2000 години.


Чак в края на 18 век, най-сетне се появява пробив.
Прави го 15 годишен германец, който след време става един от най-великите математици – Карл Фридрик Гаус.

Гаус става звезда благодарение на астрономията.
Новооткритата планета Сириус изчезва от нощното небе скрита в светлината от слънцето. Астрономите се отчаяли. Но Гаус открил математическа закономерност в пътя на Сириус и насочил астрономите къде да търсят изгубената планета. Тя била там, точно където предположил той.

Гаус не се интересувал само от звезди. Истинската му страст били числата.
Той бил вундеркинд и смятал непрестанно. Смятал още преди да се научи да чете.На 3г. възраст поправял баща си в смятането. Като ученик си водел таен дневник на математическите си открития. Но един подарък за 15 – я му рожден ден променя историята на математиката.

Подаръкът е книга с математически таблици . Отзад имало списък, който обсебил младия Гаус – таблица с простите числа.Прекарвал часове с тях опитвайки се да разплете загадката им. Накрая усилията му довели до изключително откритие. Като гледал таблицата 15 годишния Гаус осъзнал, подобно на математиците преди него в простите числа няма ред. Няма как да знаем къде ще се появи просто число на числовата ос. Те се появявали толкова случайно, колкото и печелившите числа на рулетка. Тогава Гаус извършил класически ход в арсенала на математиците.
Когато стане твърде сложно - погледни отстрани.Помисли по друг начин.Задай нов въпрос. Вместо да се пита къде ще се появи следващото просто число, Гаус се запитал колко са простите числа.

Гаус преброявал колко прости числа има на всеки 1000 числа. Правел го постоянно. Казват, че за 15 минути можел да сметне колко са на всеки 1000. И попълвал безкрайни таблици.Така направил заключенията довели до съвременното изучаване на простите числа.

Евклид установил, че броят им е безкраен.

Гауст започнал да смята колко прости числа има на 10, на 100, на 1000, на 10 000 … на 1 0000 000 и така нататък. Колкото по-нагоре стигал, по-рядко се появявали простите числа.

Имало ли начин да се изчисли как намаляват?

Започнал да си мисли, че всичко изглежда случайно като хвърлянето на зарове.
Но, броейки ги, осъзнал, че може да изчисли вероятността да стигне до просто число.
Например от 1 до 100 има 25 прости числа.
Т.е вероятността е 1:4.
От 1 до 1000, вече ставала 1;6
Предположил, че може природата да е избрала простите числа с помощта на зарове с прости числа.


Можел ли Гаус да познае броя на стените на заровете в редицата с по-големите прости числа?

Той продължавал все по-нагоре с изчисленията и започнал да вижда някаква закономерност.
Въпреки случайността от мъглата изплувала изумителна регулярност.
Щом прибавел 0, Гаус виждал, че съотношението се намалява с около 2 пъти.
От 10 000, до 100 000, до 1000 000 шансът за появата на просто число намялава 1:8; 1:10; 1:12.

Ако искаме да изброим простите числа до 10 000, трябвал зар с 8 страни.
Но ако искаме да преброим простите числа до 1000 000, вече трябвало зар с 12 страни.
Сякаш природата избирала простите числа с помощта на зарове, броят на чиито страни се увеличава все повече. Той открил една закономерност.
С нарастването на броя на числата – простите от тях оредяват.
Открил съотношението, с което това се случва.

Така съставил графика на простите числа. Тя била стъпаловидна и се изкачвала с едно стъпало при появата ново просто число.

Но Гаус успял „да се качи” само до някъде. Със заровете възпроизвел втора графика, която изчислявала стълбицата на простите числа до безкрайност.
Вместо да се концентрира върху всеки отделен скок, графиката се опитвала да предвиди цялостната насока на стълбицата. Гаус вярвал, че средния брой прости числа намалява с ясна закономерност.

Това било първото доказателство за някакъв ред.

Математиците преди него разглеждали простите числа по единично, без да искат да чуят цялостната им композиция.

Но чрез своя подход Гаус доловил доминираща музикална тема. Той знаел, че това е само груба сметка на броя на простите числа, но смятал, че е достатъчно близка .
За съжаление обаче, не успял да докаже теорията си.
А за математиката доказателството е всичко.
Математиката не зачита предположения, а потвърждения.
Доказателството за математиката е начинът да стигнеш до същността на нещата. Предимството на математиката е, че щом нещо е математически доказано, то значи е валидно завинаги.

Поради факта, че не успял да го докаже, Гаус запазил откритието си до много по-късен етап от живота си. Той винаги се колебаел дали да публикува идеите си. Предпочитал да ги крие в тайната си тетрадка. Не публикувал по 2 причини. Първо, работел като астроном и математиката му била втора професия. Втората причина била, че никога не публикувам нещо, преди да е бил напълно сигурен в него.

В днешно време, в ерата на интернет, хората публикуват всяка своя идея, независимо дали е ценна или не. Но Гаус бил много взискателен и педантичен към себе си. За него казвали следното: „Той не би представил катедрала, около която още има скеле.”
Резултатите, които публикувал го утвърждават като един от най-великите умове в математиката. Наричан е „принцът на математиците” заради качеството на приноса му и широкообхватността му. Гаус бил и физик. Интересувал се от електромагнетизма.От това дали пространството е плоско. С възрастта обаче, става раздразнителен и усамотен. Уединява се в обсерваторията в Гьотинген. Освен че допълнил таблиците, които му подарили, не успял да разгадае загадката на простите числа, но присъствието му направило малкото градче Гьотинген мека на математиката.

Сред учениците му имало един млад математик, който направил следващият голям пробив в тази насока – Бернхард Риман.

Римън е роден 1826 г. в Хановър. Бил син на пастор. Семейството му било бедно, а той свито и срамежливо дете.Не обичал много да общува с хората. Бил доста затворен и не участвал в игрите с другите деца.

Директорът на училището, в което учел като малък, забелязал, че Риман притежава изключителни математически способности. Дал му достъп до библиотеката, която била с богата колекция математически трудове, които открили нов свят пред Риман. Свят, в който той се чувствал в свои води и уверен. Открил чудесен идеализиран математически свят, в който числата станали негови приятели. В една от тези книги Риман прочел за загадката на простите числа. Казват, че прочел всичките 859 стр. само за 6 дни. След което върнал книгата на учителя с думите: „Това е прекрасна книга, знам я наизус”.

Наученото от Риман разцъфнало по невероятен начин, няколко години по-късно. Привлечен от присъствието на Гаус, 1846 г. Риман отива в Гьотингенския университет.
Математиката се смята за средство за изчисления, за слуга на другите науки.
В Париж по това време математиците строяли кораби и оръдия. Но в Германия, математиката придобива съвършено ново лице.
Математиците навлизат в много по-абстрактен свят изпълнен с нови геометрични фигури и числа. Риман се потопил в революцията на Гьотинген. Докторатът му представил нова теория в абстрактната геометрия, описвана като принос от огромно значение за математиката.

Въпреки академичния си успех Риман риман продължавал да живее уединено. Бил хипохондрик склонен към пристъпи на депресия. Намирал убежище в работата си и се криел зад голяма черна брада. Тази странна затворена личност поела щафетата от Гаус и довела до коренна промяна в ситуацията с простите числа.
1859 г. станала знаменателна в света на математиката. Риман направил фантастично откритие. Работел по математическа формула наречена „Зета функция”
Функцията е нещо като калкулатор. Въвеждате числа от единия край, а от другия край получавате резултат.

Римън осъзнава, че със „Зета функцията” може да построи тризмерен математически пейзаж. Като вълшебно огледало функцията го засмуква от стария свят на числата към непознатото царство на геометрията. Риман се вгледал в огледалото, поел въздух и прекрачил, влизайки в света зад него.


Отначало не знаел, че „Зета функцията” е свързана с простите числа, но оттатък огледалото видял, че контурите на пейзажа създаден от формулата могат да разгадят тайните на простите числа. На изток пейзажът бил обширна равнина, но като погледнел на запад забелязал планинска верига. Една планина спираловидно се губела в безкрайността. Но не върховете на планината били важни. Съкровището, което търсел се криело в долините между тях. На ключови места повърхността на триизмерната графика падала до височина нула също като местата на морско равнище в истински пейзаж. Математиците наричат тези участъци нули. Римън осъзнал, че тези нули са много важни, понеже показали неочаквана връзка с разпределението на простите числа. Връзка, която всеки прекрачил огледалото след Риман смятал за абсолютно изумителна.

Нужен бил огромен скок на въображението да се пусне този мост между света на числата и света на геометрията.

Пробивът на Риман ми дал възможност да добави подхода на Гаус. Гаус използвал заровете с прости числа да предположи броя на простите числа във вселената, но това било приблизително, а математиците обичат точните неща.
Римън открил, че мястото на всяка нула може да кодира предположенията на Гаус.
Сякаш всяка нула създава музикална нота, чиито вибрации насочват предполаганото към по-голяма точност. Комбинацията от всички ноти създава музика, която коригира предположенията на Гаус и дава точния брой прости числа по протежение на стълбицата.
Римън открил, че нулите, които на пръв поглед нямат връзка с простите числа, могат да помогнат да научим как са разпределени те.

Откритието на Риман е съизмеримо с Айнщайновото Е = m x c2.

В построения пейзаж на Риман сякаш простите числа се превръщат в музика. Риман открива ключа към тайните им. Тези нули са това, с което трябва да се борави. Но после той забелязал нещо още по-невероятно. Докато установявал местата на първите 10 нули , открил изненадваща закономерност. Нулите не били разпръснати, а се подреждали в права линия през пейзажа. Риман не смятал за случайно, че първите десет нули вървят по нея. Предполага, че всички нули, безкраен брой също са разположени по тази линия, която нарича – критична права.

Предположението му става известно като хипотеза на Риман.
Какво значение има това за простите числа?

Ако хипотезата на Риман била вярна, значи предположението на Гаус било по-точно отколкото и той си мислел и заровете му разпредяли простите числа правилно.
Като гледаме на простите числа общо, откритието на Риман доказва голяма закономерност в тяхното разпределение. Доказва точността на метода на Гаус и поставя простите числа в оптимална конфигурация.
Показва, че сред тях има един прекрасен баланс.

За мен (това са думи на сатой) откритието на Риман казва нещо красиво за музиката на простите числа.

Ако всички нули са по линията, това значи, че има деликатен баланс между нотите идващи от нулите. Но ако Риман грешал и имало нула извън линията, значи един музикант пречи на целия оркестър.
Но Римън не вярвал да е така, бил убеден, че докъдето и да стигнем, всички нули ще са на линията, което значело, че предположението на Гаус било много близо до броя прости числа.

„Огледалото” на Риман преобрази погледа ни върху простите числа.
Свърза две различни области на математиката - нулите в геометричния пейзаж и простите числа.

Откриването на подобна неочаквана връзка е най-голямата радост за един математик.
Невероятно е да откриеш подобна зависимост между прости числа и нули. Да събереш две отделни части на математиката и да осъзнаеш, че се отнасят за едно и също.
Вълнуващо е, казваш открих две неща, които са свързани, дали това ще ми помогне да реша задача, която други не са успявали.

Риман публикува откритието си в 9 страници през 1859г. Въпреки революционността на откритието му обаче, риман бил колеблив и посочил само, че е вероятно всички нули да са разположени на „критичната права” .
Проблемът бил, че не можел да даде доказателство, но въпреки това статията му носи слава и признание.

Правят го ръководител на математическата катедра. Същата позиция заемана някога от Гаус. Бил популярен и водел активен социален живот, забавлявал се. Много математици са затворени в началото и се отпускат по-късно. Така е и при Риман. Променил е всичко, до което се докоснал. Бил невероятен гений различен от Гаус. Има нещо магическо у него. Гаус покривал цялата област на математиката, Риман бил нещо като магьосник. Риман е смятан за един от най-важните математици. Направил е чудесни открития за простите числа. Най-вече, защото измислил метод, който направил това възможно. Има и голям принос за геометрията. Теорията на Айнщайн за относителността е базирана на откритията на Риман , направени 50 години по-рано. Но Риман не успява да се наслади на успеха. Войната между Прусия и Хановър поглъща Гьотинген. В страха си той бяга в Италия, убеден, че ако остане ще бъде убит. Но три седмици по-късно умира от туберкулоза, едва на 39 г. Риман скоро е признат за един от най-великите математици. Но славата му можела да бъде и по-голяма, ако не била прекалено старателната му чистачка.

Заварила хаос от книжа в кабинета му и хвърлила много непубликувани ръкописи в огъня. Никога няма да узнаем колко близо е бил до доказване на хипотезата си.
Но идеите му хвърлят ръкавицата на следващите поколения.
Сега всеки математик мечтае да докаже, че Риман е бил прав.
Хипотезата му е може би основният въпрос в цялата математика.
Защо задачата е толкова важна?
Отчасти, защото остава нерешена толкова време, отчасти, защото посланието е ясно, отчасти заради основните свойства на простите числа. Вече е станал фундаментален въпрос като пращането на човек на Марс. Проблем, който всеки вижда като поле за опити.

До началото на 20 век, хипотезата на Риман става една от най-големите нерешени математически загадки. Доказателството продължава да убягва, но малко преди първата световна война настъпва пробив.

Не в Гьотинген, а в другия край на Европа.
До началото на 20 век в Англия има застой в областта на математиката. Големите университети остават глухи за революцията изумила континента през 19 век, така че било изненада, че следващото късче от мозайката е подредено в Кеймбридж.
Годфри Харолд Харди е човекът събудил Англия от математическия й сън.
Харди през целия си живот бил обсебен от простите числа. Веднъж казал, че таблици с прости числа били по-приятно четиво на закуска, отколкото футболните резултати, но бил запленен по друг спорт. Страстта му към простите числа се равнявала на тази към крикета и на вечната му битка с бог.

Той отчаяно искал да докаже, че няма бог, но с това само превърнал бог в основен играч в живота си. На крикет ходел с антураж против бог, за да не вали. Дори в хубаво време отивал с 4 пуловера, чадър и куп книжа под мишница, така искал да заблуди бог, че се надява да завали, за да навакса с работата си. Вярвал, че бог, големият му враг ще прати слънце напук, за да осуети плановете му. В една картичка Харди твърдял, че е доказал хипотезата на Риман, но вълнението било краткотрайно. Това била поредната му игричка с бог. Пратил картичката преди тежко и дълги плаване с кораб, като един вид застраховка. Вярвал, че бог няма да позволи да се удави и светът да мисли, че наистина е решил задачата.Основният си принос към загадката на простите числа направил рано.

Риман казва, че по линията има толкова нули, че е много възможно всички да са там.
Харди показал, че има безкраен брой нули по тази линия.
Това било поне частично потвърждение на думите на Риман. Подобен пробив звучи като доказателство на хипотезата, но безкрайността е коварно нещо. И да докажем, че на линията има безкраен брой нули, пак ще останат много, които не са проверени. Дори по-лошо логично погледнато, чисто теоретично може да има много нули извън линията. Нещо като хотел с безкраен брой стаи. Може да проверявате всяка четна и всички да са заети, но макар че сте проверили безкраен брой стаи, остават нечетните стаи.

В случая на Харди, вместо да проверява стаи, проверявал нули, да види дали са на критичната линия. За жалост не успял да докаже, че поне половината нули са на нея. Постижението му е изключително, но оставало още много до края.
Една сутрин през 1913 г., на писалището на Харди идва писмо с дръзки фантастични теореми за простите числа. Авторът твърдял, че има философия за изчисляване на броя на простите числа до 100 000 000 без никаква грешка. Ако било вярно, това би било огромна крачка напред.

Харди си казал, че математиката привлича какви ли не откачалки и подходил много скептично. Ежедневно получавал купища писма с какви ли не фантастични претенции от страна на математици, които след внимателен преглед се оказвали неверни.
В този случай обаче, до вечерта теоремите от точно това писмо започнали да показват магиите си. Харди осъзнал, че писмото е написано от гений.
Нещо още по-интересно, било пратено от другия край на света.

Автор на писмото бил 23 годишния счетоводител - Шриниваса Раманужан със заплата от 20 рупии на месец, от пристанищната служба в Мадрас. Подобно на Харди и Раманужан бил обсебен от простите числа. Вместо да върши монотонната си работа, той по цял ден попълвал тетрадка след тетрадка с изчисленията си свързани с тези числа. След работа Раманужан се разхождал бос по плажа и мислел за числата. Не е имало как да знае за напредъка направен на запад. Но като по чудо успял, съвсем сам да установи резултатите доказани от Риман 50 години по-рано. Още по-смайващо е, че Раманужан е бил почти изцяло самоук. Показвал изненадващи за възрастта си математически умения в училище. Но пренебрежението му към другите предмети го лишило от възможност за висше образование. Причината Раманужан да не учи в университет била най-вече тази, че уроците били твърде скучни за него. Има анекдот, в който се казва, че предал контролно по физиология, на което пишело: „ това е несмляната част от урока за храносмилането”. Само това написал. Другите предмети не го интересували. Вълнувала го само математиката и знаел, че му се отдава. Изгубил интерес към обикновените уроци. Понеже не бил приет в Мадрасткия университет, Раманужан решил сам да се образова.
5 години седял на верандата и изучавал математиката. Той мислел за математиката денонощно и бил тотално обсебен от нея. Дори се говори, че жена му го хранела, за да не прекъсва работата си.

Неограничен от обичайните математически рамки Раманужан се гмурнал в морето на простите числа с ентусиазъм. Тази непредубеденост всъщност му дава голямо предимство. Безспорно е бил гений.

Фактът, че е самоук, означавал, че не е бил спънат от тогавашните принципи и предразсъдъци. Дръзнал да стигне много по-надалеч. Понякога грешал, но много пъти бил прав. Когато другите следвали пътеките му, доказвали твърденията му.
Математическата находчивост е трудна за разбиране. Начинът на Работа на Раманужан бил една мистерия. Той твърдял, че идеите му идват на сън, пратени от богинята Намагири, покровителка на семейството му. Звучи странно, но подсъзнанието играе важна роля в размишленията на математиката. Случвало ми се е да заспя с някоя задача и да се събудя с ясно решение в главата си. Раманужан бил вещ в това да остави подсъзнанието му да го води през лабиринта на математиката. В желанието си да получи признание, той решил да се обърне към английските математици и писал на Харди, като предварително се бил убедил в гениалността му. Харди се заел да доведе способният индиец в Кеймбридж, но Раманужан не искал да напусне съпругата и семейството си. А и като ревностен брамин вярвал, че прекосили морето ще бъде низвергнат. Тук се намесил един от приятелите му. Виждал колко много иска да замине и измислил хитър план. Завел Раманужан в храма да търси божествено вдъхновение. Както се надявал, след 3 нощи прекарани на пода на храма, Намагири се явила на Раманужан и му наредила да замине. Планът проработил. Той отплавал от Мадрас и пристигнал в Англия през 1914 г., малко преди избухването на Първата Световна война. Скоро станал редовен посетител на колеж „Тринити”, където ходел по чехли, вместо с неудобни западни обувки. Работел съвместно с Харди по много математически въпроси. Двамата били много успешни. Заедно открили решения на редица задачи. Но не и на загадката на простите числа. Харди предупредил за дяволската им същност и те отказали да разкрият тайните си.

Раманужан може би щял да направи голямо откритие, ако не започнал да страда от депресии и болести. Заменил математическата изолация в Индия за културна самота в Кеймбридж. Времената били трудни. Петте години прекарани там били година на война. Раманужан не можел да води добра кореспонденция с жена си. С изключение на Харди, не общувал с много хора. Не се хранел добре, не консумирал месо – бил вегетарианец. Веднъж опитал напитка мислейки, че е вегетарианска, но с ужас установил, че съдържа животински мазнини. След няколко дни попаднал в бомбардировка и бил убеден, че Намагири го наказва за консумацията на месо. Изпаднал в такава депресия, че се хвърлил под влак на метрото. Машинистът спрял навреме, но Раманужан бил изпратен в санаториум за 12 месеца. Когато Харди го посетил по типично английски начин говорел за номера на таксито, с което дошъл - 1729… „Доста скучно число” - отбелязал той. „Съвсем не” – отвърнал Раманужан, то е най-малкото, което може да се запише като 2/3 степени по различен начин. Раманужан не спирал да мисли за числата. В края на войната Харди му предлага да се върне в Индия, за да се възстанови. След няколко месеца бива потресен от новината за смъртта на гения отишъл си едва на 33 г. възраст. Раманужан умира от болести, недохранване, а вероятно и инфекция на черния дроб през 1920 г.

Самият Харди не понасял старостта и обърнал всичките си огледала, зада не вижда следите й по лицето си. Харди е тъжен случай в това отношение. В известен смисъл останал млад чак до 60г. възраст. После се появили сърдечна недостатъчност и депресия.

Непотвърдената хипотеза на Риман, продължила да го обсебва. Той се разочаровал все повече от неспособността си да я реши. Както Раманужан, направил неуспешен опит за самоубийство, но със свръх доза.Хипотезата се оказала жесток неприятел.


Следва продължение



....

сряда, 4 юли 2012 г.

БОЗОНИТЕ НА ХИГС И ОБЕДИНЯВАНЕТО НА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯТА

...

проф: Хигс





ДОСТЪПНА И ЗАБАВНА ИНФОРМАЦИЯ ЗА ХИГС - БОЗОНА
МОЖЕ ДА НАМЕРИТЕ ТУК:

(Ако наистина се интересувате от Хигс - бозонът, прочетете за "полето на Хигс)

Бозонът на професор Питър Хигс (анимация:)




...


Ето и по сериозен и задълбочен поглед върху идеята на Хигс






Публикуване на части от статията, която може да прочетете тук.
...

автори на статията:
М. Н. Дубинин, А.Н.Никитенко






Въведение


Известно е, че заобикалящият ни свят “се управлява” от четири типа взаимодействия:

1) електромагнитното взаимодействие (неговите свойства технически се използват
в радиото и телевизията, радио- и мобилните връзки, радиолокацията, енергетиката,
лазерите);

2) силното взаимодействие (“отговорно” за горенето на Слънцето и звездите,
атомната енергетика, ядреното и термоядреното оръжие);

3) слабото взаимодействие ( “отговаря” за разпада на частиците, например бета-
разпада на неутрона в протон, електрон и антинеутрино, синтеза на тежките елементи
в звездите);

4) гравитацията (взаимното привличане на всички материални тела).



Понастоящем можем в достатъчна степен да “управляваме” само електромагнитни-
те, а в някаква неголяма степен да използваме свойствата на силните взаимодействия,
което не можем да кажем за разпадите на частиците или за гравитацията.

Откъде се взеха тези взаимодействия, защо са именно четири, и как да си обясним разликата в техните свойства? Известно е, например, че електромагнитната “константа на връзката”, характеризираща силата на притегляне или отблъскване между електричните
товари, се различава с десетки порядъци от гравитационната константа на връзката,
характеризираща привличането между тела с маса.

Отговорите на тези въпроси биха могли да доведат до осъзнаването на принципно нови възможности за развитие на нашата цивилизация в сравнение с последствията от ролята, която изигра възникването на електромагнетизма в средата на ХІХ век. Като такива възможности могат да се споменат новите източници за енергия, пряката трансформация на едни химични елементи в други, създаването на изкуствени силови полета с предварително зададени свойства, създаване на пространствени области, в които известните понастоящем
физични закони са видоизменени.

Обединяването на квантовата теория с теорията на относителността в средата на
миналия век доведе по естествена начин до представата за взаимодействащи квантови
полета и свързаните с това частици.

Да си представим две разположени на разстояние заредени частици, които се привличат или отблъскват (в случая знаците на техния заряд са без значение), и да започнем да местим едната от тях. Електромагнитната сила, с която едната частица взаимодейства с втората, не може да доведе до моментално изменение на местоположението на втората, понеже съгласно теорията на относителността, нито един сигнал не може да се разпространява със скорост по-голяма от скоростта на светлината. Раздвижената от нас частица става източник на свързаното с нея електромагнитно поле, което пренася през пространството енергия и по такъв начин влияе върху състоянието на другата частица.

Според квантовата теория енергията може да бъде пренасяна само на дискретни порции (кванти), които следва да се интерпретират като частици, предаващи силата на взаимодействие. В квантовата теория на полето взаимодействието на едни частици – източник на полета (електромагнитни, слаби и силни) се свързва с обмяната с други частици – преносители на взаимодействието.
В случая на взаимодействие на електрични товари (например, електрони) преносители
са фотоните (γ-квантите на електромагнитното поле).



Тук трябва да има таблица 1 - Фундаменталните частици и преносителите на взаимодействия между тях, която може да погледнете в оригиналната статия


Да напомним, че освен електроните (е), в природата съществуват и електрично
заредени по-тежки частици – мюонът ( μ ) и тау-лептонът (τ), също участващи в елек-
тромагнитните и слаби взаимодействия.

Всяка от тези частици има частица-партньор – почти безмасовите неутрина, като разновидностите на неутрино в природата са три: νе, νμ , ντ ..

Като допълнение към електрона, мюона, тау-лептона и съответстващите им
три вида неутрина (тази шесторка частици се наричат с общото име лептони) в приро-
дата съществуват дробнозаредените кварки от шест типа, обикновено обозначавани със
символите u, d, c, s, b, t, със силно различаващи се маси. Най-леките измежду тях u и
d с товари 2/3 и -1/3 образуват свързаното състояние (uud) = р с товар 2/3+2/3-1/3 = 1 и
(udd) = n с товар 2/3-1/3-1/3 = 0, които са добре известни като протони и неутрони, със-
тавляващи атомното ядро. В съответствие с представата за кварките като частици опре-
делящи структурата на адроните, слабите взаимодействия между електроните, мюоните, неутриното и кварките се пренасят от тежките частици, наречени W-бозони и Z- бозони. W-бозонът има електричен товар +1 или -1, равен по големина на товара на електрона, а Z-бозонът е електрично неутрален. Силните взаимодействия между дробнозаредените кварки се пренасят от безмасови частици, наричани глуони. Например, u и d вътре в протона се привличат един към друг, обменяйки непрекъснато глуони. Съществено е, че различието в масите в семейството на шестте кварка е огромно.

Например, най-тежкият кварк t има маса 35000 по-голяма, отколкото лекият кварк u. Масата на електрона е е 3500 пъти по-малка от масата на тау-лептона τ. Още по-впечатляваща е разликата между масата на неутриното и зареденият лептон, напри-
мер масата на неутриното ντ и тау-лептона τ се различава приблизително 10 милиарда
пъти.

Обкръжаващата ни Вселена се състои от частици със сравнително неголеми маси, а
именно от електрони е, електронни и мюонни неутрина νе и νμ, фотони γ и два типа “леки” кварки u и d, чиито маси са най-малките измежду всички съществуващи “шесторки” от кварки. Останалите лептони и кварки са значително по-тежки и притежават много малки времена на живот и практически веднага се разпадат в леки кварки, лептони, фотони и неутрино. Те бяха получени изкуствено на ускорители на частици.

Откъде се вземат масите на лептоните и кварките и как може да се обяснят огромните разлики в масите им?

Този въпрос е толкова обоснован, колкото вече поставеният за произхода на разните типове взаимодействия и огромната разлика в тяхната сила.

За да се обясни възникването на лептонните и кваркови маси, както и на преносителите на слабото взаимодействие W– и Z-бозоните, са необходими допълнителни частици, които са наречени по името на техния “изобретател” Pеter Higgs частици на Хигс.

Теорията на електрослабото взаимодействие изисква съществуването на един електрически неутрален бозон на Хигс (H), но не е изключено те да бъдат и повече.
Откриването на бозона на Хигс е една от основните задачи на експериментите на
колайдера LHC.

Неговото установяване съвсем не е проста задача по две причини:
първо, той е слабо свързан с лептоните и кварките, поради което много рядко се
ражда при сбълсквания на снопове в ускорителите частици; и второ, масата на Хигс-
бозона е неизвестна (в смисъл, че теоретиците не могат да я предскажат). Затова се
налага да се моделира нейното раждане при всевъзможни стойности на масите, което
е значително по-сложно, отколкото тя да се търси при определена стойност. Заедно
с това експерименталното наблюдение на бозона на Хигс и измерването на неговите
характеристики ще има огромно значение за съвременната физика.

Чисто математически, теорията с участието на бозоните на Хигс беше демон-
стрирана още през 1970-те години, с успешното теоретично описание и предсказване
на свойствата на W– и Z-бозоните, които впоследствие, през 1980-те години, полу-
чиха своето експериментално потвърждение. Същевременно, дълбокото разбиране
на физиката, стояща зад бозоните на Хигс, е далеч от яснота. Тук най-същественото__ предположение е, че цялата Вселена е запълнена със скаларно поле с огромна напрег-
натост и необикновени свойства. Масата на лептоните и кварките възниква за сметка
на взаимодействието с това поле. Да напомним, че съгласно специалната теория на
относителността безмасовите частици (например фотоните) се пренасят със ско-
ростта на светлината, докато масивните частици не могат да достигат тази гранична
скорост.

Скаларното поле на Хигс, запълващо цялото пространство, може да “забавя”
определени типове взаимодействащи с нея частици, подобно на въздуха, който забавя
движението на изстреляния от оръдието снаряд. Такъв тип частици, които по своята
природа са безмасови, вследствие на взаимодействието с полето на Хигс ще се движат
по-бавно от скоростта на светлината и ще изглеждат като масивни. Другите типове
частици, които не взаимодействат с полето на Хигс (например, “стерилните” относно
хигсовскто поле фотони) няма да се “забавят” и ще останат безмасови.

В същото време въпросът за източниците на хигсовото поле остава открит, както
и проблема за съвместимостта на огромната плътност на нейната енергия със съвре-
менните космологични представи. В съответствие с общата теория на относителността
огромната плътност на енергията може да повлияе силно на геометрията на простран-
ство-времето, което би могло да бъде добре наблюдаемо явление.

Поучително е да си спомним, че представата ни за материята, която запълва цялото
пространство, за пръв път беше формулирана в началото на миналия век. До тогава
практически нищо не беше известно за строежа на атомните ядра и елементарните
частици, т.е. за силното и слабо взаимодействие. Бяха известни само гравитацията и
електромагнетизмът. Според концепциите от този период, в запълващата цялото пространство среда (етер) се разпространяват електромагнитните вълни на светлината от
отдалечени звезди, които се регистрират на Земята в експерименти с особено чувствителни уреди (така нар. интерферометри), за да се измери влиянието на движението на Земята по нейната орбита върху скоростта на идващата от звездите светлина. Въпреки че концепцията за етера се оказва нереалистична, експерименталните и теоретични работи, проведени във връзка с нея, водят до създаването на специалната теория на относителността, станала едно от главните постижения в историята на световната наука.


За теорията на Великото Обединение.


Принципите на симетрия през всички времена са играли основна роля за обяснение
на основите на света.
През Средните векове Йохан Кеплер построява модел на Слънчевата система, използвайки симетрични относителни въртения в тримерното пространство (тоест правилните) многостени.

В онези времена нищо не е било известно нито за галактиките, нито за космичното излъчван, а най-отдалечената от Слънцето известна планета е била Сатурн.

Кеплер пише: “... Орбитата на Земята е мяра за всички орбити. Нека около нея опишем додекаедър. Описаната около него сфера ще бъде сферата на Марс. Около сферата на Марс да опишем тетраедър. Описаната около тетраедъра сфера е сферата на Юпитер. Около сферата на Юпитер да опишем куб. Описаната около куба сфера ще бъде сферата на Сатурн. В сферата на Земята да вместим икосаедър. Вписаната в нея сфера ще бъде сферата на Венера. В сферата на Венера да вместим октаедър. Вписаната в нея сфера ще бъде сферата на Меркурий...”

В рамките на модела на Кеплер светът се определя от симетриите на пет многостена, около които могат да се построят шестсфери, затова теорията обяснява произхода на броя на планетите, които са точно шест, а разстоянията между сферите обясняват разстоянията между планетите и тяхната равноотдалеченост от Слънцето.

Въпреки че впоследствие се изяснява, че моделът на Кеплер не съответства на
наблюдаваното движение на планетите, понеже кръговата симетрия на орбитите на
планетите малко се нарушава (планетите се движат по елипси), използваните в него
принципи на симетрия за обяснение на устойчивостта на света запазват своята актуал-
ност стотици години след това и до днес. Вместо въртения на многостени в тримерното
пространство, трансформиращи тези тела сами в себе си, в наше време за описание на
фундаменталните частици трябва да се разглеждат (наистина, математически доста по-сложно) въртения във “вътрешни” пространства.

Те са образувани от набора на частиците, които запазват неизменна математическата функция, определяща енергията на създаваните от частиците полета. Структурата на математичните обекти, описващи въртенията (това са матрици, реализиращи представянията на групите на “вътрешните” симетрии, чиито елементи са комплексни функции), позволяват да се определят колко ще бъдат съответстващите им фундаментални частици и частици, преносители на взаимодействията.

По този път през последните тридесетина години бяха постигнати големи успехи в
разбирането на природата на взаимодействията и произхода на масите на частиците.
Бяха създадени теории на силното и слабо взаимодействие, и нещо повече – електромагнитните и слабите взаимодействия бяха обединени в единно електрослабо
взаимодействие. Успехът на обединяването на теориите: електричното и магнитното в
електромагнетизъм, а електромагнитното и слабото в електрослабо, доведе до идеята
за обединяване на електрослабото и силно взаимодействия в единната теория на Вели-
кото обединение. В този случай наблюдаваните от нас електромагнитни, силни и слаби
взаимодействия на частиците са всъщност различни прояви на едно фундаментално
взаимодействие, чиято сила се характеризира с единна константа на връзката αGUT.

На много малки разстояния (по-малки от 10-29 см) това взаимодействие притежава
съвършена симетрия, когато неутриното, заредените лептони и кварките участват в
тях еднакво и са напълно неразличими помежду си.

Тази симетрия позволява да се говори за “прачастица” (или вектор (мултиплет) във въображаемото пространство на частиците, чийто компоненти представляват фундаменталните частици), различните състояния на която впоследствие стават неутриното, заредените лептони и кварките.

Добре известна илюстрация на такъв род представлява системата от протон
и неутрон, които са и горната, и долната компоненти на единия от мултиплетите,
наречен нуклон. При въртене в така нареченото изотопично пространство прото-
нът и неутронът могат да преминават един в друг, първоначално отличавайки се по
проекцията на изотопичния спин. Силните взаимодействия не могат да различат
протона и неутрона, които притежават точна симетрия относно въртения в изото-
пичното пространство.

На съществено по-големи разстояния (от порядъка на 10-15 см), достъпни в екс-
периментите на LHC, вече не съществува универсалната константа на връзката αGUT ,
а взаимодействието на частиците – както вече беше казано – се разделят на три вида.
Електромагнитните взаимодействия се пренасят от безмасовите фотони, слабите – от
масивните векторни бозони W, Z, а силните – от безмасовите глуони. И техните кон-
станти на връзки се различават силно. По такъв начин, първоначално съвършената
симетрия за “прачастицата” на разстояния от порядъка 10-29 см, (или другояче казано
– при енергии от порядъка 1015 GeV), в области на по-малки енергии трябва да бъдат
разрушена, за да бъдат описани разните взаимодействия. За нарушаването на симетри-
ята в теорията трябва да бъдат въведени бозоните на Хигс. На тях съответства скаларно
поле, което запълва цялото световно пространство и има нетривиална зависимост на
енергията от амплитудата на полето, когато състояние с минимална енергия (т.нар.
вакуум) се достига при стойност на полето не равна на нула (вж. по-нататък – фиг.2 и
обяснението към нея).

Смята се, че квантовата теория на взаимодействията е налична, когато е зададена функцията на Лагранж за полето и наблюдаемите величини се изразяват с функции с крайни значения.

Представата за нарушение на симетриите в природата е напълно естествена. Да
вземем, например, златна монета. Отделните атоми на златото, от която тя се състои, са сферично симетрични. Трудно е да се различи отделно взет атом на злато от подобен,
но обърнат “с краката нагоре”. Това е така защото ядрото и “летящите” около него
електрони не фиксират някаква избрана посока в пространството. Едновременно с това
златната монета пада или на “ези”, или на “тура”. По такъв начин, при обединяване на
голям брой атоми на златото в монета сферичната симетрия на първоначално взетите
обекти (атомите) се нарушава.

Представата за нарушаване на симетрията на състояния с минимална енергия се
включва по естествен начин в рамките на приетата понастоящем концепция за възник-
ване на Вселената в резултат на Големия взрив при огромни температури от порядъка
на 1027К.

Всички частици и античастици, включително и Хигс-бозоните, калибровъчните бозони и фермиони, също и безмасовите, са образувани след взрива, като броят на частиците и античастиците е еднакъв.

При охлаждане на “симетричната” ранна Вселена в нея възниква разширяващ се сферичен “мехур”, вътре в който е нарушена симетрията на състоянието с минимална енергия, а най-същественото следствие от това е възникването на маса на частиците и изменение на физическите закони на техните взаимодействия.

Възникването на масите нарушава съвършената симетрия на единното взаимодействие,
в резултат на което различните компоненти на мултиплета на “прачастиците”, дотогава еднакви, се видоизменят в различни кварки и лептони.

Появяването на маси при бозоните преносителите на силните взаимодействия отговарят за разликата в силата на електромагнитното и слабо взаимодействия на големи разстояния. На много малки разстояния или при повторно разгорещяване до много високи температури масите изчезват, преносители на слабите и електромагнитните взаимодействия стават еднакво ефективни вследствие възстановяването на съвършената симетрия. Много съществено е, че при разширението “мехурите” в близост до стените им протичат процеси, които могат да бъдат описани само в квантовата теория, допускаща изчезването на античас-
тиците.

В резултат в нашата Вселена отсъстват обекти, състоящи се от антиматерия.

Първият реалистичен модел на обединение на електромагнитното и слабо взаимодействия на лептоните (електрона и съответстващото му неутрино), в който бяха използвани много от елементите на изложената до тук идеология, беше предложен от Ш. Глешоу, С. Уйнбърг и А.Салам към края на 60-е години на миналият век.
Този модел включва две комплексни скаларни полета, които след спонтанно нарушаване на симетрията на потенциала на взаимодействие водят към един хигсовски бозон.


Съответен механизъм на генерация на маси на електрона и промеждутъчните векторни бозони W и Z, които пренасят слабото взаимодействие, беше предложен от английския
теоретик Питър Хигс през 1964 г. и почти едновременно и независимо от Браут, Енглерт, Гуралник, Хаген и Кибл. Бозонът на Хигс би трябвало да се ражда при сблъсквания на снопове протони и да може да бъде наблюдаван в детекторите за частици.

Несъмненият успех на модела на Глешоу-Уйнбърг-Салам след отриването и включването в него на трите поколения лептони и кварки, експерименталното наблюдение на неутралните токове, преносителите на слабите взаимодействия W– и Z-бозоните и преносителите на силните взаимодействия – глуоните, не може да бъде считан за завършен, понеже бозонът на Хигс до настоящия момент не е наблюдаван в експерименти. Това не стана нито на колайдера LEP2 (ЦЕРН, Швейцария) при насрещни електрон-позитронни снопове с максимална енергия 220 GeV), нито на колайдера Tevatron (Фермилаб, САЩ при насрещни протон-антипротонни снопове с максимална енергия 1960 GeV). Бозонът на Хигс е единствената неуловима частица в този така сполучлив модел на взаимодействия на фундаменталните частици, но отсъствието на експериментална информация за нейните свойства не позволява да се направят някакви определени заключения за природата на хигсовския потенциал, неговата космологична еволюция, свойствата на фазовите преходи от свръхплътна многочастична среда след Големия взрив към наблюдаваната астрофизична картина с ниска плътност на частиците във Вселената, механизмите на генериране на излишък от частици над античастиците (т.нар. барионна асиметрия) във Вселената и др.

Последните експериментални данни достатъчно убедително сочат за необходимостта от разширение на модела на Глешоу-Уайнбърг-Салам, съдържащ три двойки лептони и три двойки кварки (този модел се нарича Стандартен модел поради неговата общопризнатост),
както по състава на фундаменталните фермиони, така и по конструкцията на сектора
на Хигс-бозоните и свойствата на хигсовския потенциал.

Най-очевидните експериментални свидетелства от такъв род представляват астрофизичните експериментални данни за съществуването във Вселената на ненаблюдавани масивни частици, много слабо взаимодействащи с известните ни лептони и кварки.

За тези масивни частици в литературата се използва означението WIMP – Weakly
Interacting Massive Particles; те са кандидати за ролята на “тъмна материя”. Галак-
тиките могат да бъдат “претеглени”, наблюдавайки тяхното относително движение,
подобно на възможността в Слънчевата система да се определи масата на Слънцето,
измервайки скоростта на движението на Земята по нейната орбита. Ако Слънцето
беше четири пъти по-тежко, то Земята би трябвало да се движи два пъти по-бързо, за
да остане на орбитата си– По аналогичен начин движението на Слънчевата система
относно Млечния път може да се използва за оценка на масата на нашата Галактика
и тя се оказва много по-голяма от тази, която има видимата материя.

Още по-интересна информация дават регистрираните фотони, достигащи Земята
от далечния космос. Всички нестабилни частици, родени в етапа на еволюцията на

Вселената, при анихилация и последващ разпад рано или късно изпускат фотони.

В експеримента наречен WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe – вж. “Светът на физиката” 2009, кн. 3,4) с помощта на изведени в космоса радиометри беше регистрирано микровълново гама-излъчване с дължина на вълната от порядъка на 10 мм (честота около 50 Гхц), пристигащо от всевъзможни участъци на небесната сфера.

В експеримента SDSS (Sloan Digital Sky Survey) беше използван 2,5 м. наземен телескоп
на обсерваторията в Ню-Мексико, САЩ и оборудван със спектографи за регистрация
на фотони в пет различни диапазона от галактики от отделни области на небесната
сфера. Комбинацията на получените данни свидетелства, че плътността на материята във Вселената е примерно с порядък по-голям от това което следва от преките наблюдения за видимото излъчване от звездите в галактиката. Пряко астрономично свидетелство за съществуването на “тъмна материя” във Вселената беше получено през 2006 г. при наблюдение на сблъсъка на две отдалечени галактики. Проблемът за “тъмната материя” може да се разреши чрез разширяването на Стандартния модел.

Съществуват достатъчно много кандидати за ролята на частици на “тъмната материя”
(суперсиметричните частици (специално неутралиното), възбужденията на полето на
Калуца-Клайн в модели с допълнителни измерения, частици в модели с разширения
на хигсовския сектор и др.)

По правило, в разширенията на Стандартния модел се изисква съществуването не на един, а на няколко бозона на Хигс с нетривиални взаимодействия. Посочените дотук разширения на Стандартния модел са достъпни за експериментална проверка на колайдера LHC, което създава интересни възможности за сравнение на данните от LHC с астрофизичните наблюдения.





Как се разпада бозонът на Хигс?

Веднага след раждането си бозона на Хигс се разпада на други две частици. Тези два процеса протичат толкова бързо, че те не успяват да се отдалечат от мястото на сблъскване на двата протона на що-годе забележимо разстояние. За да се установи раждането на Хигс-бозона, трябва да се регистрират частиците на разпад, измерят техните енергии и импулси и реконструира нейната маса в голям брой събития. Възможни са разпади на два кварка или глуони, на двойка лептони (електрони, мюони или тау-лептони), на двойка векторни бозони, и накрая, особено интересните за експериментите на LHC много редки случаи на два фотона.

Бозонът на Хигс няма електричен товар и затова не може направо да се разпадне на
два фотона. Трябва предварително да образува затворена примка от заредени векторни бозони или тежки кварка, които след това да излъчат два фотона. Вероятността за
разпад на бозона на Хигс на двойка едни или други частици от Стандартния модел
зависи от неговата маса и от масата на частиците на които се разпада. Например, бозон
на Хигс с маса 120 GeV не може да се разпадне на двойка топ-кварк и антитоп-кварк
с маси от по 175 GeV всяка една от тях – тук енергията на покой е 120 GeV и явно не
достига. Обаче вероятността за разпад на b-кварк и анти b-кварк с маси около 5 GeV
всяка, е по-голяма от вероятността за разпад на двойка тау-лептон и анти тау-лептон с
маси 1,7 GeV.







...

Превел (с известни съкращения): Н. Ахабабян
Сб. “В Глубь материи”, Москва 2009; М.Н.Дубинин, А.Н.Никитенко –
“Бозоны Хигса и объединение взаимодействия”


...