вторник, 18 декември 2012 г.

Повече светлина върху природата на парадокса II. част.

...

ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИ ПАРАДОКСИ





Най-прочутият парадокс от тази група е за „класа на всички класо­ве, които не са членове на себе си". 
Той се основава на следните пред­поставки. 
Класът е целокупността от всички обекти, имащи определе­но свойство. Така всички котки - минали, настоящи и бъдещи - състав­ляват класа на котките. След като сме установили този клас, останала­та част от всички други обекти във Вселената могат да се разглеждат като класа на не-котките, защото всички тези обекти имат едно опреде­лено общо свойство: те не са котки.


Всяко твърдение, че даден обект принадлежи и на двата класа, ще е просто противоречие, защото нищо не може да бъде котка и не-котка едновременно. 
Тук не е станало нищо необикновено: появата на това противоречие просто доказва, че е бил нарушен основен закон на логиката, но самата логика не страда от това. 
Оставайки отделните котки и не-котки на мира и издигайки се едно ниво по-нагоре, нека погледнем какво са самите класове. 
Лесно вижда­ме, че класовете могат или да са членове на себе си, или да не са. 
На­пример класът на всички понятия очевидно е понятие, докато нашият клас на котките не е котка. 
Следователно на това второ равнище Вселе­ната отново е разделена на два класа:

тези, които са членове на себе си, и онези, които не са. 
Отново всяко твърдение, че един от тези класове е и не е член на себе си, ще е просто противоречие, което трябва безцеремонно да се отхвърли. 
Същевременно, ако аналогичната операция се повтори още веднъж на следващото ниво, внезапно се изправяме пред катастрофа. 
Трябва единствено да обединим всички класове, които са членове на себе си, в един клас, който ще наречем М, а всички класове, които не са членове на себе си - в клас N. 
Ако сега изследваме дали клас N е или не е член на себе си, се натъкваме директно на прочутия парадокс на Ръсел. 
Да не забравяме, че разделението на Вселената на класове на членуване в себе си и на нечленуване е изчерпателно: по определение не може да има никакви изключения. Следователно това деление трябва да е при­ложимо в еднаква степен за самите класове М и N.

Следователно, ако клас N е член на себе си, не е член на себе си, защото N е класът на класовете, които не са членове на себе си. 
От друга страна, ако N не е член на себе си, тогава удовлетворява условието за членство в себе си: той е член на себе си точно защото не е член на себе си, тъй като не-членството е съществената разграничаваща характеристика на всички класове, изграждащи N. 
Това вече не е просто противоречие, а истин­ска антиномия, защото парадоксалният резултат се основава на строга логическа дедукция, а не на нарушаване на законите на логиката. 
Ос­вен ако няма някаква скрита заблуда в цялата идея за класа и членство­то, е неизбежно логическото заключение, че клас N е член на себе си само и единствено ако не е член на себе си, и обратно. 
Фактът е, че тук наистина е включен погрешен извод. Това става ясно благодарение на Ръсел и въвеждането на неговата теория за логи­ческите типове. 
Много накратко, тази теория постулира фундамен­талния принцип, че - както се изразява Ръсел (Russell, 1910-1913) - всичко, което включва целия сбор от неща, не бива да е част от сбора. С други думи, парадоксът на Ръсел се дължи на объркване на логичес­ките типове, или нива. 
Класът е от по-висок тип в сравнение с членове­те си. За да го постулираме, трябва да се изкачим едно равнище по-нагоре в Йерархията на типовете. Следователно да кажем - както на­правихме, че класът на всички понятия сам по себе си е понятие, не е НЕВЯРНО, но е безсмислено, както ще видим след малко. Това разграни­чение е важно, защото, ако твърдението беше просто невярно, тогава отрицанието му трябваше да е вярно, което чисто и просто не е така.







ПАРАДОКСАЛНИ ДЕФИНИЦИИ




Този пример за класа на всички понятия осигурява удобен мост, по който сега можем да преминем от логическите към семантичните па­радокси (парадоксалните дефиниции или семантичните антиномии). 
Както видяхме, „понятие" на „по-ниско (членско) равнище и „понятие" на следващото по-високо (клас) ниво не са идентични. 
Същевременно и за двете се използва едно и също име - „понятие" - и така се създава езиковата илюзия за идентичност. 
За да избегнем този капан, винаги когато има възможност за объркване на равнищата, трябва да се из­ползват маркери за логическия тип - индекси във формализираните системи, кавички или курсив в по-общата употреба. Тогава става ясно, че в нашия пример понятие 1 и понятие 2 не са идентични и че идеята за членство в себе си на даден клас трябва да се отхвърли. Нещо пове­че: става ясно, че в тези случаи коренът на злото са непоследователно­стите на езика, а не на логиката. 
Може би най - прочутият от всички семантични антиномии е тази за човека, който казва за себе си: „Аз лъжа." 
Следвайки това твърдение до логическото му заключение, отново откриваме, че то е вярно само ако не е вярно; 
с други думи, човекът лъже само ако казва истината и, об­ратното, казва истината само ако лъже. 
В този случай теорията за логи­ческите типове не може да се използва за елиминиране на антиномия­та, защото думите или комбинациите от думи нямат йерархия на логическите типове. 
Доколкото знаем, отново Бертранд Ръсел пръв стига до решение. 
В последния параграф на въведението му към Tractatus Logico-Philosophicus („Логико-философски трактат") на Витгенщайн, почти между другото, той издига идеята, че „всеки език има - както казва г-н Витгенщайн - структура, за която в езика не може да се каже нищо, но може да има друг език, занимаващ се със структурата на първия език и имащ нова структура, и тази йерархия от езици не може да има граница" (Russell, 1951, p. 23).


Идеята е разработена предимно от Кар­нап и от Тарски в това, което днес е известно като теория за нивата на езика. 
По аналогия с теорията за логическите типове тази теория пред­пазва от объркване па равнищата. 
Тя постулира, че на най-ниското рав­нище на езика се правят твърдения за обекти.

Това е царството на езика на обектите. В момента, в който искаме да кажем нещо за езика обаче, трябва да използваме МЕТАЕЗИК и МЕТАМЕТАЕЗИК, ако искаме да говорим за този метаезик, и т. н. в теоретично безкраен регрес. 
Прилагайки тази концепция за нивата на езика към семантичната антиномия за лъжеца, може да се види, че това твърдение, макар и състо­ящо се само от две думи, съдържа две твърдения.


Едното е на ниво обекти, а другото - на метаниво и казва нещо за онова на нивото на обектите, а именно че то не е вярно. 
В същото време, почти като фокус на магьосник, то внушава, че това твърдение на метаезика само по себе си е едно от твърденията, за които се прави метатвърдението, че само по себе си то е твърдение на езика на обектите. 
В теорията за нивата на езика този вид саморефлексивност на твърденията, включващи собст­вена истина или неистина (или аналогични свойства, например демонстрирусмост, дефинируемост, установимост и други подобни), са ек­вивалентът на понятието за членството в себе си на даден клас в теори­ята за логическите типове: и двете са безсмислени твърдения. (Чудесен пример в контекста на взаимодействието на саморефлексивно твърде­ние, което отрича собственото си утвърждаване.) 
Разбира се, ние с голямо нежелание следваме доказателството на логиците, че твърдението на лъжеца е безсмислено. Някъде трябва да има уловка и това чувство е дори още по-силно при друго прочуто па­радоксално определение. 
В малко селце - гласи историята - има бръснар и той бръсне всички мъже, които не се бръснат сами. Отново тази де­финиция, от една страна, е изчерпателна, но от друга - води директно към парадокс, ако човек се опита да класифицира самия бръснар в групата на бръснещите се сами или в тази на небръснещите се сами. И отново строгата дедукция доказва, че не може да има такъв бръснар, но ние оставаме с неловкото чувство: „Защо не?". 
С това упорито съмне­ние наум нека погледнем поведенческите (прагматичните) последст­вия от парадокса.






ПРАГМАТИЧНИ ПАРАДОКСИ





Парадоксални предписания



Макар че парадоксът на бръснаря почти винаги се представя в ци­тираната по-горе форма, съществува поне една леко различна негова версия. 
Тя е използвана от Райхепбах (Reichenbach, 1947) и в нея - оче­видно без някаква конкретна причина - бръснарят е войник, на когото капитанът нарежда да обръсне всички войници от ротата, които не се бръснат сами, но не и останалите. 
Райхенбах, разбира се, достига до единственото логично заключение: „Няма такова нещо като бръснар на ротата в дефинирания смисъл." 
Каквито и да са основанията на автора да представи историята в малко необичайна форма, това ни осигурява пример на преди всичко прагматичен парадокс. В крайна сметка няма причини такова предпи­сание да не може да се даде независимо от логическата му абсурдност. Съществените съставки на това възможно събитие са следните:



(1) Силно взаимодопълващо се взаимоотношение (офицер и под­чинен). 
(2) В рамката на това взаимоотношение се дава предписание, което изисква подчинение, но човек трябва да не се подчини, за да се подчини (заповедта дефинира войника като са-мобръснещ се само и единствено ако той не бръсне себе си, и обратното). 
(3) Човекът, заемащ по-долната позиция в това взаимоотноше­ние, е неспособен да излезе от рамката и по този начин да разреши парадокса, като го коментира, т. е. метаком у пикира за него (това би се равнявало на „неподчинение"). 

Попадналият в такава ситуация човек е в незащитима позиция. Следователно, макар от чисто логическа гледна точка заповедта на ка­питана да е безсмислена и бръснарят уж да не съществува, ситуацията изглежда много различна в реалния живот. Прагматичните парадокси, особено парадоксалните предписания, в действителност са много по­-чести, отколкото сме склонни да мислим. В момента, в който започнем да разглеждаме парадокса в контекста на взаимодействието, явлението престава да е просто очарователно научно занимание на логика и фи­лософа и става въпрос с ярко практическо значение за психичното здраве на комуннкаторите, било то индивиди, семейства, общества или на­ции. 

Следват няколко примера, простиращи се от чисто теоретичен модел през други, взети от литературата и близки области, до клинич­ни случаи.






Примери за прагматични парадокси






Пример 1:


Синтактично и семантично правилно е да се напише Чикаго е гъсто населен град, но ще е неправилно да се каже Чикаго е трисричков, защото в този случай трябва да се използват кавички: „Чи­каго" е трисричков. Разликата в тези две употреби на думата е, че в първото твърдение тя се отнася до обект (град), докато във второто съща­та дума се отнася до име (което е дума) и следователно до себе си. 
Двете употреби на думата ,Чикаго" следователно са от различен логи­чески тип (първото твърдение е на езика на обектите, второто е на ме­таезик) и кавичките служат като маркери на логическия тип. (срв. Nagel, 1958, pp. 30-31 и следващите)* 

*На този етап трябва да се отдаде дължимото на математика Фреге, които още през 1893 г. предупреждава: „Вероятно честата употреба на кавичките ще изглеж­да странна. Чрез тях аз диференцирам случаите, о които творя за самия 'знак, и тези, в които говоря за неговото значение. Колкото и педантично да изглежда това, все пак твърдя, че то е необходимо. Забележително е как неточният маниер на говорене или на писане, който първоначално може да е бил използван единствено за удобство и краткост с пълно съзнание за неточността му, в крайни сметка може ди обърка мисълта, след като съзнанието се е изпарило." (Fiege, 1893, p. 4, курсивът е наш.) 

Нека сега си представим странната възможност някой да конден­зира двете твърдения за Чикаго в едно {Чикаго е гъсто населен град и е трисричков), диктувайки го на секретарката си и заплашвайки да я уволни, ако не е в състояние да го напише правилно. 
Разбира се, тя не може (нито пък ние). 
Какви тогава са поведенческите ефекти от тази комуникация? - защото това занимава прагматиката на човешкото об­щуване. 
Глупостта на настоящия пример не бива да ни разсейва от те­оретичната му значимост.
Не може да има съмнение, че комуникация­та от този вид създава незащитима ситуация. 
Тъй като съобщението е парадоксално, всяка реакция на него в рамката, поставена от съобще­нието, трябва да е еднакво парадоксална. 
Просто не е възможно да се държите консистентно и логично в неконсистентен и нелогичен кон­текст. 
Докато остане в рамката, поставена от нейния работодател, сек­ретарката има само две алтернативи:
- да се опита да се подчини и,  
- раз­бира се, да се провали, или да откаже да го напише. 

В първия случай може да бъде обвинена в некомпетентност, а във втория - в неподчине­ние. Трябва да се отбележи, че от тези две обвинения първото внушава интелектуален дефицит, а второто - злонамереност. 
Това не е твърде различно от типичните обвинения в лудост или лошотия. И в двата случая е вероятно тя да реаги­ра емоционално, например като се разплаче или се разгневи. На всичко това може да се възрази, че никой със здрав разум няма да се държи като този въображаем шеф.
Това обаче е обаче е nоn sequitur.т латински - отговор, който няма релевантност на предхождащото; в логи­ката - заключение, което не следва от предпоставките. - Б. пр.)
Защото поне на теория - а много вероятно и от гледна точка на секретарката - същест­вуват две възможни реакции на такова поведение: или шефът си търси претекст, за да я уволни, и използва този гаден номер за целта, или той не е на себе си. Забележете, че отново лошотията или лудостта сякаш са единствените обяснения.
Съвършено различна ситуация възниква, ако секретарката не оста­не в рамката, определена от предписанието, а го коментира, с други думи, ако не реагира на съдържанието на заповедта на шефа, а комуни­кира за неговата комуникация.
Така тя излиза от контекста, създаден от него, и не е хваната в капана на дилемата.
Това обаче обикновено не е лесно.
Първо, е трудно да се комуникира за комуникацията. Секретарката ще трябва да посочи защо ситуацията е несъстоятелна и какво й причинява това, макар че сам по себе си този акт ще е голямо постижение. Друга при­чина метакомуникацията да не е просто решение на ситуацията е, че шефът, използвайки властта си, може много лесно да откаже да приеме нейната комуникация на метаравнище и да я определи като още едно доказателство за некадърността или нахалството й. 
Това преживяване на блокиране на метакомуникациите, за да се попречи на някого да се измъкне от несъстоятелна ситуация, е добре известно на Луис Карол.
След като Черната и Бялата царица са довели Алиса до лудост със своите въпроси те й веят с клонки листа, докато тя идва на себе си, и промиването на мозъка й продължава: -  Сега вече дойде на себе си – каза Черната царица. - Знаеш ли чужди езици? Преведи на френски „фидъл-ди-ди"!

- " „Фидъл-ди-ди" не значи нищо - отговори важно Алиса.

- Кой казва, че значи? -отвърна Черната царица.

Алиса помисли, че най-после е намерила начин да излезе от затруднението.

- Ако ми кажете на какъв език е „фидъл-ди-ди", аз ще ви го преведа на френски!" - извика тя тържествуващо. Но Черната царица се дръпна и важно каза:

- Човек не се пазари никога с царици!"




...

следва продължение

...

Повече светлина върху природата на парадокса

...



ПРИРОДАТА НА ПАРАДОКСА




Парадоксът е очаровал човешкия разум поне през последните две хиляди години и продължава да го прави и днес. В действителност ня­кои от най-важните постижения на този век в областта на логиката, математиката и епистемологията включват - или са тясно свързани с парадокса и най-вече развитието на математиката или теорията за доказателството, теорията за логическите типове и проблемите на консистентността, изчислимостта, установимостта и други. Като непосве­тени аутсайдери, фрустрирани от сложната и езотерична природа на тези теми, ние сме склонни да ги отхвърлим като твърде абстрактни, за да имат значение за живота ни.
Някои може би си спомнят класически­те парадокси от училище, но вероятно само като забавни странности. Но има нещо в природата на парадокса, което е от непосредствено прагматично и дори екзистенциално значение за всички нас.
Парадоксът не само може да нахлува във взаимодействието и да влияе върху поведението и психич­ното ни здраве, но и предизвиква вярата ни в консистентността, а следователно крайната стабилност и логичност на нашата вселена.
Нещо повече, преднамереният парадокс в духа на максимата „Клин клин избива" има съществен терапевтичен потенциал, а и парадоксите оказват влияние в някои от най-благородните начинания на човешкия ра­зум.
Отчитането на понятието парадокс е от централно значение и по ни­какъв начин не представлява оттегляне в кула от слонова кост.



Изследване на логическата основа на  парадокса


Дефиниция

Парадоксът може да се дефинира като противоречие, което следва коректна дедукция от логични предпоставки.
Тази дефиниция ни поз­волява да изключим незабавно всички онези форми на „фалшиви" па­радокси, които се основават на скрита грешка в разсъжденията или някакъв пропуск, преднамерено вграден в аргументацията.*
Същевре­менно обаче още на този етап определението се замъглява, защото де­лението на парадоксите на реални и фалшиви е относително.
Съвсем не е невероятно днешните логични предпоставки да се превърнат в утрешни грешки или пропуски.
Например парадоксът на Зенон за Ахил и костенурката, която той не можел да надмине, несъмнено е „истин­ски" парадокс, докато не е открито, че безкрайните, сливащи се серии (в този случай непрекъснато намаляващото разстояние между Ахил и костенурката) имат крайна граница. **
След като това откритие е напра­вено и радващото се дотогава на пълно доверие допускане се оказва невярно, парадоксът престава да съществува. Това се изяснява от Куин (Quine, 1962, pp. 88-89):
“Ревизията на някаква концептуална схема не е безпрецедент­на. Тя се случва по малко с всеки напредък в науката и става по ярко забележим начин при големите открития, например Ко-перниковата революция и промяната от Нютонова механика към Айнщайновата теория на относителността. Можем да се надя­ваме в течение на времето дори да свикнем с най-големите по­добни промени и да приемаме новите схеми за естествени. Имало е време, когато доктрината, че Земята се върти около Слънцето, е била наричана „парадокс на Коперник" дори от хора, които са я приемали. Може би ще дойде време, когато начини за изразяване на истината без имплицитни индекси или подобни предпазни мерки наистина ще ни звучат точно толкова безсмислено, колкото ги показват антиномиите.” ***


*

Типичен пример на този тип парадокс е историята за шестимата, които искали шест единични стаи, а ханджнята имал само пет. Той „решил" проблема, като завел първия човек в стая N° I и помолил друг от тях да почака там с първия за няколко минути. След това завел третия is стая № 2, четвъртия - в стая № 3, а петия - в стая № 4. След като направил това, ханджията се върнал в стая I, взел шестия господин, който чакан там, и го настанил в стая № 5, Готово! (Греш­ката се крие във факта, че вторият и шестият човек се третират така, сякаш са един.)



**

За обяснение на този парадокс и неговата погрешност вж. Norlhrop, 1944.



***

Антиномия (от старогръцки – αντι и νoμoς – против, срещу, преди; и закон; буквално – „противозаконие”, „противопоставяне на два закона”) е термин, възприет от различни науки за обозначаването на някакво противоречие, било на фундаментално, било на конкретно ниво. При това противорачащите си гледни точки са еднакво доказуеми по логичен път. Антиномията е противоречие между две взаимно изключващи се положения или два прин­ципа, които еднакво убедително могат да се доказват по логически път (напри­мер „Светът е безкраен" и „Светът е краен"). - Б. пр.







Трите типа парадокси



„Антиномиите" - терминът, който поясних в предходното изречение изисква обяснение.
„Антиномия" понякога се използва като синоним на „парадокс", но повечето автори предпочитат да ограничат употребата му до парадоксите, възникващи във формализираните системи като логика и математика.
 (Възможно е читателят да се чуди къде другаде могат да възникнат парадокси. Парадокси могат еднакво добре да се появяват в областите на семантиката и прагматиката, както и навлизат в човешкото преживяване на битие­то.)
Според Куин (Quine, 1962, pp. 85) антиномията „създава вътрешно противоречие чрез приети начини на разсъждение".
Щегмюлер (Stegmuller, 1957, p. 24) е по-конкретен и дефинира антиномията като твърдение, което е едновременно противоречиво и доказуемо.
Следо­вателно, ако имаме твърдението Sj 
и второ твърдение, което е отрицание на първото, - S j (което означава не Sj, или Sj е невярно"),
двете могат да се комбинират в трето твърдение Sk,
при което Sk = Sj + -Sj 
Така получаваме формално противоречие, защото нищо не може да е едно­временно себе си и не себе си, т. е. едновременно вярно и невярно.
Щегмюлер обаче продължава: ако може да се покаже - чрез дедукция, - че както Sj, така и неговото отрицание -Sj са доказуеми, тогава и Sk е доказуемо и сме изправени пред антиномия.
Следователно всяка антиномия е логическо противоречие, макар че - както ще видим - не всяко логическо противоречие е антиномия.
Е, съществува и втори клас парадокси, които се различават от ан­тиномиите само в един съществен аспект: те не се появяват в логичес­ки или математически системи и следователно не се базират на терми­ни като формален клас и брой, а по-скоро възникват от някои скрити непоследователности в нивовата структура на мисленето и езика.*


*

 При правенето на това разграничение следваме Рамзи (Ramsey, 1931, p. 20), който въвежда тази класификация:



Група А:   


(1) Класът от всички класове, които не са членове на себе си.

(2) Отношението между две отношения, когато едното няма отно­шение с другото.

(3) Противоречието на Бурали Форти за най-голямото редно чис­ло.



Група В:   
(4)  „Аз лъжа." 
(5) Най-малкото цяло число, което не може да се назове с по-малко от 19 срички.
(6) Най-малкото неопределено цяло число.
(7) Противоречието на Ричард.
(8) Противоречието на Уейл за „хетероложното".

(Трябва да се отбележи, че Рамзи предпочита термина „противоречие в теори­ята за агрегатите", а не „парадокс".) Всички тези парадокси са описани в Bochfinski, 1961.



Вто­рата група често се нарича семантични антиномии или парадоксални дефиниции.

И накрая, има трета група парадокси, която е най-малко изследва­на. Те представляват най-голям интерес за психологията (системно ориентираните психотерапии), защото възник­ват от съществуващите взаимодействия, в които детерминират поведе­нието.

Нека наречем тази група прагматични парадокси. Прагматичните парадокси могат да се разделят на парадоксални предписания” и пара­доксални предвиждания”.


В обобщение: съществуват три типа парадокси:



(1) логико-математически парадокси (антиномии);

(2) парадоксални дефиниции (семан­тични антиномии);

(3) прагматични парадокси (парадоксални предпи­сания и парадоксални предвиждания), ясно съответстващи на трите основни области:

първият тип - на логическия синтаксис,

вторият - на семаитиката,

а третият - на прагматиката.



Може да се представят примери за все­ки тип, както и да се докаже как малко известните прагматични парадокси израстват, така да се каже, от другите две форми.



...

следва продължение: "Логико-математически парадокси"




... 

източници: "Изследване на моделите, патологиите и парадоксите на взаимодействието" - Пол Вацлавик, Джанет Бивиан Бавелас, Дон.Д. Джаксън,



...