вторник, 27 декември 2011 г.

Приказка за висшата математика II част.

...

Еволюцията на един език: Приказка за висшата математика I чат.



...



Еволюцията на точката във ФРАКТАЛ





...



„Науката е изградена от факти, така както една къща е изградена от камъни, но натрупването на факти представлява толкова наука, колкото купчина камъни представлява къща." -
Анри Поанкаре


...



Смисълът на математиката е в откриването на закономерности и решаването на задачи, а великите неразрешени загадки вдъхват живот на тази наука.

По време на втория математически конгрес, проведен в Париж през 1900 г., Давид Хилберт представил 23 нерешени от математиците проблема.

Според него те щели да определят целите на математиците през ХХ век. Систематизирайки нерешените проблеми в математиката, Хилбърт имал за цел да даде стимул на математиците на XX.век.

Една цел на Хилберт, която личи и от разнобразието на областите, в които са поставени проблемите е да постави ясно въпроса
„...предстои ли на математиката, някога това, което отдавна се случва с другите науки, няма ли тя да се разпадне на отделни частни науки, представителите на които едва се разбират помежду си и поради това, връзките между които стават все по-малко... " Хилберт не отговаря на поставения въпрос, а възкликва емоционално: „ Аз не вярвам в това и не го искам!"

Това, от което се е страхувал Хилберт -разпадането на математиката на отделни науки, не стана факт. Но страховете на Хилберт не са безпочвени.

Разпадането все повече характеризира математиката от онова време. С бурното й развитие през деветнадесети век постепенно се оформят големи и трудни за изучаване области - алгебрична теория на числата, диференциална геометрия, алгебрична геометрия, небесна механика, да не говорим за класическия анализ.

Заедно с това, обаче върви и друга тенденция - на обединяване на математиката.
С известно опростяване можем да кажем, че това става като идеи, средства и резултати от едни раздели се пренасят в други раздели.






Нека да посочим примера, който дължим на гения на Риман - чрез римановата дзета-функция да се изследва разпределението на простите числа. Но в обединяването на науката, не по-малка, а може би по-голяма роля играе умението да се намира общ произход на обекти изглеждащи доста различни.
Начинанието на Хилбърт успява.
Хилбъртовите проблеми дефинират математиката на съвременния свят

Ето таблица, в която са изброени подробно 23 – те проблема, заедно с указания за това кои са решените към момента.
Моля, обърнете внимание на проблем N 6.

Заслугата за това математеката да остане единна, като намери универсални средства за разбирането на проблемите й чрез обединяване на тези проблеми, т.е. намирането на по-общи постановки, а оттук и за бурното й развитие, принадлежи на серия блестящи умове.

Много математици приемат предизвикателството на Хилбърт.
Разказът, за това, кои математици как са третирали или как са преборили „Хилбъртовите проблеми” се превръща в история на математиката на XXв.

Ние трябва да съсредоточим своето внимание главно не толкова върху сходствата и различията, колкото върху тези аналогии, които често се скриват в изглеждащите различия" , пише Поанкаре в книгата си Наука и метод" .

Първият Хилбъртов проблем се родил в източна Германия – в град Хале.
Великият математик Георг Кантор първи успял да разкрие загадката на безкрайността и да я дефинира математически.

Никой преди Кантор, не е разбирал понятието безкрайност, още повече да го е дефинирал математически.

Концепцията за безкрайността е променлива, което я прави трудна за дефиниране. Объркващо е да мислим за безкрайността, защото колкото повече се задълбочаваме, толкова повече данните се трупат ли не трупат и губим представа до къде можем да стигнем.

Математическите въпроси обикновено възникват и се развиват чрез взаимодействие на много изследователи.

С концепцията за безкрайността, математиците са се борели още от 5-ти век пр. н. е.
Още гръцкият математик Зенон от Елея на Запад и ранните индийски математици на Изток. По-късно, през първата половина на 19-ти век, особено забележителна е работата на Бернард Болцано.

Първите разработки свързани с теорията на множествата принадлежат на този чешки философ, математик и теолог. В труда си „ Парадоксите на безкрайното“ публикуван през 1851 г. Болцано развил теорията за безкрайните множества. Доказал известната теорема Болцано-Вайерщрас като показал, че всяко ограничено безкрайно множество има поне една гранична точка.

Съвременното разбиране за безкрайността започва през 1867-71, с работата на Кантор свързана с теорията на числата.

През 1870 г. Георг Кантор разработил програма за стандартизиране на математиката, в рамките на която всеки математически обект представлявал определен тип множество, но теорията на множествата добива популярност през 1874 с така известния доклад на Кантор.

Кантор направил безкрайността разбираема. Нещо повече, твърдял, че няма само една безкрайност, а безброй безкрайности.

Опростено казано, Кантор сравнявал различни безкрайни редици числа.
Напр. редицата числа 1,2,3,4,5 и т.н. , с тази от 10, 20, 30, 40 и т.н. , която на пръв поглед изглежда по-малката. Кантор доказал, че двете безкрайни числови редици, всъщност са еднакво дълги, защото образуват двойки.

Ами дробите?
Има безкрайно много дроби в състава на целите числа.

Дали безкрайността на дробите е по-голяма?
Кантор намира начин, по който свързва целите числа с безкрайно множество дроби. Подрежда всички дроби в безкрайна мрежа.




В първата редица са цели числа – дроби със знаменател 1.
На втори ред са половините дроби със знаменател 2 и т.н. всяка дроб намира своето място в мрежата.
Кантор прекарва мислена линия, която минава диагонално и показва, че ако се изправи тази линия се свързва всяка дроб с едно от целите числа. Това показва, че безкрайността на дробите е същата като безкрайността на целите числа.

Дали всички безкрайности са еднакви по размер, обаче?

Кантор разглежда множеството на безкрайните десетични дроби и доказва, че тяхнята безкрайност е по-голяма.

Опитал ли се някой да изброи всички десетични дроби, Кантор можел да го контрира с нова десетична дроб извън списъка.

Кантор доказва, че има различни безкрайности и различни размери на безкрайностите.
Той дефинирал безкрайните множества и доказал, че реалните числа са повече на брой от естествените. Теоремата на Кантор включва "безкрайност на безкрайностите".
Той определил кардиналните и ординалните числа, както и тяхното пресмятане.
Той е създателят на съвременната теория на множествата, която се превръща във фундаментална теория в математиката.







Кантор е вземан за чешит и не само защото страдал от маниакална депресия, поради която прекарал по-голямата част от живота си в „луксозен” санаториум за душевно болни. Въпреки несъмнения му гениален принос за математиката, неговата теория за трансфинитните числа, първоначално е смятана за не-интуитивна и дори шокираща.
Работата му срещала опозиция в лицето на множество негови съвременници. Негативното отношение от тяхна страна се смята за причината за честите депресии, в които изпадал Кантор.

Но как можем да знаем какво става със сигурност в душата на един човек, пък камо ли в душата на един гениален математик, първият, който започнал да брои не числа, а безкрайности? Един математик, който отворил портала към съвсем нов вид математика. Математика, която днес е считана за основна смяна на парадигмата.

Много от математиците са смутени от парадоксите създадени от Кантор.

Интересното е, че само те не представлявали проблем за него.

Парадоксът на безкрайността никога не стряскал Кантор.
Той вярвал, че има неща, които могат да се установят с математическа точност, обаче абсолютната безкрайност е самият Бог, плюс финалния парадокс, че това може да бъде разбрано единствено от Бог.

Но Кантор не оставя всичко в ръцете на Всевишния.
С един проблем се бори до смъртта си.






Това е хипотезата за континиуума. /вижте първият Хилбъртов проблем/

Има ли безкрайност между по-малката безкрайност на целите числа и тази на десетичните дроби?/ще се върна тук по-нататък, за да развия как се решава този първи Хилбъртов проблем - следете продълженията :)/


И макар че, Кантор среща голяма съпротива приживе, един от най-уважаваните и известни математици за времето си – гениалният Анри Поанкаре защитава и доразвива теориите му.
Поанкаре твърди, че математиката на безкрайността е красива, въпреки че е патологична.
Поанкаре е може би първият, който заличава границите между отделните математически дисциплини (без да отричам заслугите на Якоби, Риман, Клайн).

Той свободно прехвърля идеи от една област в друга, дотогава считана за съвършено различна. Преливането отива дотам, че те стават една наука.

Участието на Поанкаре в създаването на фундамента на съвременната математика е решаващо - и в определяне на централните направления на изследванията, и в създаването на съвременния универсален език, който обединява класически разделените геометрия и алгебра.







След Лобачевски и преди Поанкаре хиперболичната геометрия няма кой знае какво развитие. Тя е по-скоро екзотична област.

С модела на Поанкаре и с изследванията му (и Клайн) по автоморфни функции /вижте 22-рият Хилбъртов проблем/, тя става централен обект в математиката, какъвто е и сега.

Характерното за творчеството на Поанкаре е, че той изследва природата, иска да разбере философията на света.
Конкретните си резултати той извлича след намирането на движещия механизъм на явлението.

Така е и при автоморфните функции. След намирането на връзката с хиперболичната геометрия Поанкаре сравнително лесно получава всичко останало.


В резюме.
За целите на диференциалните уравнения е развита теория, основана на комплексния анализ, теорията на групите, неевклидовата геометрия.

Използвани са идеи от теория на числата.
Още в началото на заниманията си Поанкаре забелязва, че автоморфните функции са много полезен инструмент в изучаването на римановите повърхнини (удивително е, че Поанкаре по онова време има неособено големи познания в тази област).

Например чрез теорията на автоморфните функции се получава едно от доказателствата (това на Поанкаре) на теоремата за униформизацията.

Процесът на това откритие на Поанкаре е описан подробно от самия него в книгата му „Наука и метод" .
Там той подчертава особено много ролята на интуицията, на безсъзнателното в научното творчество.

Днес не можем да си представим математиката без автоморфните функции.

Освен в теорията на римановите повърхнини тя е съществена част и важен инструмент на теорията на числата. Теорията на представянията на групи, централна област, пронизваща природоматематическите науки от аритметиката до квантовата химия, е практически невъзможна без нея.


Ключът към развитието на най-важните проблеми на математиката на XX век,
изнамерен от Поанкаре, се появява с една интересна задача.







През 1885 г, по повод 60- годишнината на краля на Швеция и Норвегия Оскар II се обявява международен конкурс с награден фонд 2500 крони, за онзи който докаже веднъж завинаги математически, че ако СЛЪЧНЕВАТА СИСТЕМА НЕ СЕ ВЪРТИ В СТРОГО ОПРЕДЕЛЕН РЕД (закономерно подредено) то тя ще СЕ РАЗПАДНЕ ВНЕЗАПНО.

Работите на Поанкаре в задачата за трите тела стават знакови за творчеството му, както и за развитието на съвременната математика.


В основни линии задачата се състояла в следното:

Три материални (т.е с ненулева маса) точки, например Слънце, Земя и Юпитер, се движат в пространството под действието на силите на привличане помежду им по закона на Нютон. Иска се да се опише движението.

Тази размита постановка не е случайна - задачата всъщност няма строга формулировка. Изследователите сами биха могли да я допълват според интересите и силите си.
За разлика от задачата за двете тела, на която всички движения могат да се опишат детайлно и да се класифицират, тук намирането на някое движение, например периодично, вече е голям успех.

Добре е да се отбележи, че задачата съдържа практически всички трудности присъщи на механични задачи и специално на задачи за много тела.

Според изчисленията на Нютон, ако в системата има две планети, орбитите ще бъдат стабилни. Те ще се въртят една около друга в епилептична траектория.
Но ако системата е от три тела като земята, луната и слънцето напр. въпросът за стабилността на орбитите стъписва дори Нютон.






Проблемът е, че има поне 18 променливи като точните координати, скоростта и посоката на движение и т.н. Уравненията стават изключително сложни.

Един въпрос , до който достигат класиците Лагранж и Лаплас е въпросът: устойчива ли е Слънчевата система - типичен въпрос от тематиката на задачата за трите тела (тук те са повече).
Въпросът трябва да се разбира както в обикновения, т.е. нематематически език - пита се дали планетите няма да избягат много далече от слънцето, дали няма да се приближават произволно близко до него или помежду си.

Няма трудност да се даде и точната математическа формулировка - въпросът е дали решенията остават в някаква компактна област на фазовото пространство -всяко в своя. Знаменитата теорема на Лаплас казва, че Слънчевата система е устойчива, ако се пренебрегнат квадратите на масите.






Това не много ясно твърдение означава следното.
В задачата за трите тела допълнително се предполага, че масата на едно от телата - Слънцето - е много по-голяма от другите маси (на планетите).

Например ако масата на Слънцето е единица, то масите на планетите са хилядни части от единицата. Решенията се записват с безкрайни редове, в които участ¬ват масите. Величините, в които масите участват чрез квадратите си просто зачеркваме. Действително те (квадратите на масите) ще бъдат (за Слънчевата система) милиони пъти по-малки от единица.

Друг е въпросът, че те са коефициенти пред изрази, в които участвува времето и когато то расте, пренебрегнатите членове евентуално също растат.

Поанкаре се връща към тази теорема в съвършено друга постановка, произлизаща от Поасон, който доказва, че ако се оставят квадратите, но се пренебрегнат кубовете, Слънчевата система е отново устойчива.


Тук обаче смисълът на думата „устойчива" е доста различен.
Сега новото значение е, че планетната система ВЕЧНО ЩЕ СЕ ВРЪЩА БЛИЗО ДО СЕГАШНОТО СИ ПОЛОЖЕНИЕ, но планетите биха могли да се отдалечават колкото искаме или да се приближават произволно близко до Слънцето или помежду си.








Поанкаре доказва далеч по-силен резултат - заключението на Поасон е вярно, без да се пренебрегват кубовете или които и да било степени на масите.

Средствата, с които Поанкаре получава този блестящ резултат имат далеч по-голямо значение от самия резултат.

Става въпрос за знаменитата теорема на Поанкаре за възвръщането, която има горе-долу същото звучене, но за произволна механична система, а също и за теорията на интегралните инварианти.

Това са все общотеоретични резултати, лежащи в основата на ергодичната теория, важни за статистическата физика, за хидромеханиката, и т.н.

Впрочем въпросът за устойчивостта на слънчевата система се оказва доста по-сложен. Въпреки огромното придвижване дължащо се на Поанкаре, въпросът на Лагранж и Лаплас чака 70 години за да получи сравнително удовлетворителен отговор.
Той е част на така-наречената КАМ-теория - по имената на Колмогоров, Арнолд и Мозер.
Конкретният резултат принадлежи на тогава 25-годишния Арнолд и „изказан на пръсти" гласи: с голяма вероятност слънчевата система е устойчива - приблизително 0.999

Тясно свързани с „задачата за трите тела” са работите на Поанкаре по динамични системи или качествена теория, по-точно създаването й.

Именно в контекста на качествената теория са голяма част от изследванията му по небесна механика - например тези по периодични решения и свързаните с тях.

Далече преди Поанкаре е било ясно, че повечето диференциални уравнения не могат да се решат в никакъв смисъл.






Станало е ясно, че трябва да се изучават решенията без да се решават уравненията.
Но предшествениците му не са имали убедителни примери.

Вероятно защото не са били наясно кое е това, което трябва да се изучава.

Поанкаре е успял да намери удивително прости и изключително важни геометрични обекти - фазов портрет на система, съставен от фазовите криви, т.е. кривите зададени от решенията и параметризирани с независимата променлива ( времето" ).
/Поанкаре създава основата на бъдещата ТО на Айнщайн/

Това е изучаване на решенията в ЦЯЛАТА ИМ СЪВКУПНОСТ.
И тъкмо защото се въвежда геометрична картина можем да говорим за тяхното взаимно разположение.

Сред детайлите на фазовия портрет най важните са положенията на равновесие и отново периодичните решения.
Последните са източник на много дълбоки и много приложни в истинския смисъл на думата изследвания - периодичните движения се срещат на всяка крачка - и в механиката и в радиотехниката и в икономиката.

Например работата на радиолампата се описва с уравнението на Ван дер Пол:

y + (μ + y2) y + w2y = 0

От него се вижда, че едно от решенията е устойчив граничен цикъл - изолирано периодично решение, което „привлича" близките му решения.

Един от знаменитите проблеми на Хилберт - шестнадесетият, е посветен именно на периодичните решения и по-точно на „граничните цикли на Поанкаре" .


Съответната система има фазов портрет:




Ще цитирам знаменит пасаж от съчинение на Поанкаре.

„Оставаш поразен от сложността на тази фигура, която даже не се опитвам да изобразя. Нищо не е по-подходящо за да ни даде представа за сложността на задачата на трите тела и въобще на задачите на динамиката, в която няма еднозначни интеграли и в която редовете на Болин са разходящи."






Трептения, описвани с уравнението на Ван дер Пол



Какво се случва с решаването на задачата „за трите тела”?
Поанкаре е бил обявен тържествено за един от двамата победители.

Как Поанкаре печели конкурса, въпреки че не разрешава напълно задачата?

Идеите му били достатъчно логични, методите, които използвал новаторски и математечиски изящни. Той разработил куп нови техники и математически похвати за решението на уравнението.
По-скоро заради тези нови техники получава наградата.
Той опростява условието чрез последователни апроксимации на орбитите, които според него не биха повлияли на крайния резултат.

По регламент статиите на победителите трябвало да се публикуват в едно от най-авторитетните математически списания по онова време, а и до сега - "Acta Mathematica".

При подготовката на списанието за печат обаче, младият помощник-редактор и по-късно известен математик Едвард Фрагмен открива неясни места в текста на Поанкаре и му ги съобщава.
След като поправя съответните текстове обезпокоеният Поанкаре преглежда отново съчинението и открива доста по-сериозни грешки с грамадни последствия.

През това време списанието вече е набрано и дори по-лошо - ограничен брой книжки са разпратени на отделни специалисти. Сред тях са членовете на журито - Вайерщрас и Ермит, астрономите - Гилден и Линдщедт, математиците Ковалевска, Ли. Поанкаре съобщава неприятните новини на председателя на журито Миттаг -Лефлер.

По молба на последния това остава в тайна между тях. И двамата имат сериозни врагове - сред тях са знаменитият математик Кронекер или маститият астроном Гилден, директор на стокхолмската обсерватория.








Поанкаре анализира резултатите на неговите предшественици Линдщедт, Болин и др. (главно астрономи), които получават „решенията" във вид на безкрайни редове и доказва, че редовете са разходящи.

Поради това той съсредоточава вниманието си върху проблеми от КАЧЕСТВЕН характер.

Поанкаре започва да изследва периодичните решения, при които планетите след известно време се връщат точно в първоначаналното си положение. „...Особената ценност на тези решения се състои в това, че те представляват единствения жалон, по който можем да проникнем в област, считана по-рано за недостъпна." - така Поанкаре мотивира обекта на изследванията си.

Той обаче, не се задаволява просто да намери големи класове периодични решения - и преди него има намерени такива от Ойлер, Лагранж, Хил.

Поанкаре наистина иска да проникне в областта считана по-рано за недостъпна.
Новите периодични решения му дават възможност да открие нови явления далеч надхвърлящи границите на небесната механика.

След изучаването на периодичните решения той прави следващата стъпка - да разбере какви решения са свързани с тях по някакъв начин.







Най-интересните се оказват решения, при които с течение на времето планетната система все повече се приближава до периодично движеща се, но освен това преди голям интетервал от време е приличала на същата периодична система.
Тези решения са наречени от Поанкаре двойно-асимптотични.

Първоначалните - погрешни твърдения на Поанкаре са водели до извода, че при планетните движения НЕ СЕ ПОЯВЯВАТ ХАОТИЧНИ ДВИЖЕНИЯ.

ПРОТИВНО НА ПЪРВОНАЧАЛНАТА ТЕЗА – ДОРИ МИНИМАЛНА ПРОМЯНА В ИЗХОДНИТЕ УСЛОВИЯ, може да отклони коренно орбитите.

В новата редакция се появява голямото откритие на Поанкаре – СЪЩЕСТВУВАНЕТО НА ХАОС (чувствителност към началните условия) В ДЕТЕРМИНИРАНА СИСТЕМА, в случая описвана с обикновени диференциални уравнения.

Оказва се, че повечето движения всъщност не могат принципиално да се ОПИШАТ ИНДИВИДУАЛНО, и съвсем не заради нашето неумение - такава им е природата.

Те ТРЯБВА ДА СЕ ИЗУЧАВАТ В ТЯХНАТА СЪВКУПНОСТ, А НЕ ПООТДЕЛНО.
Затворената обвивка на такова решение може да е множество с размерност по-голяма от едно.

Резултатът от тази грешка бил още по-важен, обаче!Поанкаре осъзнава грешката си - опростяванията били недопустими и не вършели работа и ТАЗИ ГРЕШКА го сблъсква с ново явление.

За кратко време, около 2 месеца, той практически написва нов труд с различни научни заключения.

Благодарение на работата си по небесната механика, т.е по ДИНАМИЧНИТЕ СИСТЕМИ, Поанкаре създава КАЧЕСТВЕНО НОВА МАТЕМАТИКА.

А епизодът наистина остава в пълна тайна повече от сто години, до началото на деветдесетте години на 20 век, когато младата историчка на науката Джун Бароу-Грийн открива първия вариант на тома в Института Миттаг -Лефлер, както и съответната кореспонденция.

Анализирайки грешките си, Поанкаре доказва неинтегруемостта на задачата за трите тела.
Това означава, че всеки опит да се напишат формули, описващи движенията на планетите е обречен на неуспех.


Именно на тази грешка се дължи създаването на великата ТЕОРИЯТА НА ХАОСА.
Днес теорията на хаоса е сред най-активно развиващите се области с много приложения - сред тях например са метеорологията, химическата кинетика и др.

Теорията на хаоса е математически апарат, който изучава поведението на нелинейни динамични системи.

Тези системи са подчинени на някакъв строг закон (детерминирани) и описват явление, известно като чувствителност към началните условия (хаос).

Примери за подобни системи са атмосферата, турбулентните потоци, биологичните популации и икономическите системи.

Въпреки че математическите системи с „хаотично” /нелинейно/ поведение се явяват детерминирани, т. е. СЕ ПОДЧИНЯВАТ НА НЯКАКЪВ СТРОГ ЗАКОН , също така съществува такава област на физиката като теорията на квантовия хаос, изучаваща недетерминираните системи
/ системи с обратна връзка/ , действащи по законите на квантовата механика.


Откриването на възможността за определяне на параметрите на хаоса, да се определи поведението на нелинейните системи се счита за третото голямо откритие на 20-ти век наред с теорията на относителността и квантовата механика...

Всичко може и вече се третира на практика от позициите на теорията на хаоса, включително социалната организация, цикличностите в развитието, движението на пазарите, биологичните популации, турбуленцията на флуидите и т.н.

Математикът, който доразвива и дава съвременният облик на теорията на хаоса е Едуард Лоренц.

През 1972г. Лоренц публикува "Предвидимост: дали крилата на пеперуда в Бразилия могат да предизвикат торнадо в Тексас?" (Ефект на пеперудата).
Краткото и забавно обяснение на тази теория е, че математическите правила на хаоса обясняват защо крилете на пеперудата създават микропромени в атмосферата, които могат да предизвикат торнадо или ураган на другия край на света.








С какви инструменти разполага теорията на хаоса?

Теорията на хаоса оперира с атрактори (attract - притеглям) и фрактали (fractus - счупен).

- Атрактор (от англ. to attract – притеглям) – геометрична структура, характеризираща поведението във фазовото пространство в продължение на дълго време. Тук възниква необходимост да се определи понятието фазово пространство.

Фазово пространство – това е абстрактно пространство, координатите на което представляват степените на свобода на системата.

Например, при движението на махалото имаме две степени на свобода.
Това движение е напълно определено от началната скорост на махалото и положението му. Ако на движението на махалото не се оказва съпротивление, то фазовото му пространство ще бъде затворена крива. В реалността на Земята на движението на махалото влияе силата на триене. В този случай фазовото пространство ще бъде спирала.

- Бифуркация и Дървото на Фейгенбаум.



Атракторът е това, към което се стреми системата, към което тя е привлечена.
Той е ОБЛАСТ В ПРОСТРАНСТВОТО НА ВЪЗМОЖНИТЕ СЪСТОЯНИЯ, В КОИТО СИСТЕМАТА МОЖЕ ДА СЕ ДВИЖИ , БЕЗ ДА СЕ ОТКЪСНЕ ОТ ТЯХ.

В този смисъл, атракторът е нещо като „гъвкаво скеле”, което поддържа една „динамична конструкция”, така че тя хем да запазва целостта си, без да се разпадне, хем същевременно да успява да се променя. /аз бих нарекла този процес еволюция/

Като област в пространството атракторът може да има различни измерения:
- нулевомерен ;
- точков атрактор, представящ се във вид на едномерна линия;
- едномерен цикличен атрактор, представящ се като множество линии (не обезателно прави) в равнината;
- двумерен тороидален атрактор, представляващ множество линии в тримерното простарнство;
- сложен странен атрактор.









...



ТОЧКОВ АТРАКТОР:

Най-простият тип атрактор е точката. Такъв атрактор е махалото при наличие на триене. Независимо от началната скорост и положение, такова махало винаги ще се стреми към състояние на покой, т.е. в точка. Точковият атрактор е най-простия път от хаоса към реда.
Той съществува в първото измерение на линия, която е сбор от безкрайно количество точки. Точковият атрактор води към една дейност или го отблъсква от друга, подобно положителния или отрицателния полюс на електромагнитната енергия.
Не знаем как ще се държи всяка частица от водата във вана с играещо вътре дете, но със сигурност знаем, че, ако пуснем водата да изтича, ще се стреми към точката на отвора на дъното.

Съществува понякога точка между привличането и отблъскването, точка-седло (инфлексна точка), в която енергиите са в баланс, преди една от силите да стане по-голяма от другата.
С изключение на тези редки примери на инфлексна точка, това е "черно-бял, "добър-лош", целенасочен атрактор.










ЦИКЛИЧЕН АТРАКТОР (граничен цикъл):

Следващият тип атрактор е граничния цикъл, който има вид на затворена крива линия.
Пример за такъв атрактор е махалото, на което не влияе силата на триене.
Друг пример е биенето на сърцето.
Честотата на биене може да намалява или нараства, но тя винаги се стреми към своя атрактор, своята затворена крива.

Цикличния атрактор изразява стремежа към циклично поведение (цикъла от сън и бодърстване, например), подобно на магнитен кръг, отначало привличайки, после отблъсквайки се, след това привличайки се отново.
Той съществува във второто измерение на равнина, сбор от безкрайно количество линии.







С цикличен атрактор се характеризира пазара, където цената се движи нагоре или надолу в определен диапазон в течение на някакъв период време.
Например, високите борсови цени на зърно есента на тази година предизвикват увеличение на посевните площи следващата пролет, което, на свой ред, води до увеличаване на реколтата зърно и понижаване на цените в следващата година. След това фермерите намаляват посевните площи и т. н.

Този атрактор е по-сложен от точковия атрактор и представлява основна структура за по-сложно поведение на елементите от една система.







ТОРОИДАЛЕН АТРАКТОР:

Тороидалния атрактор представлява сложна циркуляция, която се повтаря, докато се ДВИЖИ НАПРЕД.

Съществува в третото измерение, в система, която се състои от безкраен брой плоскости.
В сравнение с цикличния и точковия атрактор, атрактора тор въвежда по-голяма степен безпорядъчност.
Но за разлика от странния атрактор, прогнози все още могат да се правят, образецът е фиксиран и краен.

Графично изглежда като геврек, автомобилна гума (тор).

Той образува спираловидни кръгове на ред различни плоскости и понякога се връща в същата точка, от която е тръгнал, завършвайки пълен оборот.
Неговата основна характеристика е повтарящото се действие.

Този атрактор пресъздава нещо като хомеостаза.



От всичко гореказано следва, че точковия атрактор може да се представи във вид на едномерна линия, цикличния атрактор като множество линии (необезателно прави) в двумерната плоскост, тороидалният атрактор са множество линии в тримерното пространство.








Странен Атрактор

Първият странен атрактор е атракторът на Лоренц.
Хаосът в атмосферата е един от първите обекти на съвременната теория на хаоса, защото самият Едуард Лоренц е бил метеоролог.

Неговият труд от 1963г. за детерминирано непериодично течение (Edward Lorenz, "Deterministic non-periodic flow", Journal of atmospheric sciences, 20, 130-41) се приема от мнозина за полагащ началото на теорията на хаоса.
В него Лоренц опростява поведението на газообразна система от три нелинейни диференциални уравнения:

dx / dt = a (y - x)
dy / dt = x (b - z) - y
dz / dt = xy - c z


Атракторът на Лоренц, представя поведението на газ, в което и да е дадено време. Състояние в даден момент зависи от състоянието му в момента, предшестващ дадения.

Ако началните данни се изменят дори с нищожно малки величини, да кажем, съизмерими с колебанията на числото на Авогадро (от порядъка на 10-24), проверката на състоянието на атрактора ще покаже абсолютно различни стойности.

Причината е, че малките разлики се увеличават в резултат на рекурсията.
Въпреки това обаче, графиката на атрактора ще изглежда достатъчно сходна.

Двете системи ще имат абсолютно различни значения във всеки даден момент от време, но графиката на атрактора ще остане същата, т.е. тя изразява общото поведение на системата.

Обяснението за неравномерното преместване на газа лежи на молекулярно ниво - все пак движението на атомите и молекулите във флуидите си е хаотично.

Молекулярните взаимодействия са много слаби, но те предизвикват случайните флуктуации, които водят до непредвидимите последствия.

Най-важната характеристика на странния атрактор е чувствителността му към началните условия ("ефекта на пеперудата").
И най-малкото отклонение от началните условия може да доведе до огромни различия в резултата.

"Ефектът на пеперудата" гласи:
"Когато в дъждовните гори на Амазония една пеперуда размаха крилца - тя предизвиква ураган в Мексико". Дали наистина можем да разчитаме на пеперудите?
Какво прави пеперудата? Измества една точка във фазовото пространство, което представя метеорологичното време. Да допуснем, че тази точка лежи на един макар и много сложен и многомерен атрактор - малък размах на пеперудата може да отдели точка от атрактора само за много кратко време, след което бързо се връща на същия атрактор в да кажем, близка, съседна точка B.

Траекторията на отклонение A и B е експоненциална, но тъй като лежат на един атрактор, те генерират подобно поведение във времето.
Пеперудите сами не предизвикват ураганите (причините за тях са по-глобални), но могат да повлияят "леко" на това, кога точно ще се случат.


Характерно за нелинейните системи е това, че те имат различни атрактори.

Когато има повече от един атрактор, основният въпрос е:
„в кой от тези атрактори ще завърши системата?”

Всички термодинамични системи имат един точков атрактор - ентропията.
Всеки атрактор има басейн на привличане, който е обкръжаващата го област, пространството, което управлява, така че всички траектории, започващи в тази област, завършват в този атрактор.








Басейните, принадлежащи на различните атрактори, се разделят от тясна граница, която може да има много непостоянна форма. За начални позиции, близки до границата, е много трудно да се определи към кой атрактор ще бъдат привлечени.
Малки колебания могат да тласнат системата в един или друг басейн, и следователно, към един или друг атрактор.


Появата на такава граница, разделяща два атрактора, се нарича бифуркация.

Близката до границата система се държи хаотично, а в басейна нейното движение е предсказуемо - към атрактора.









Фрактал



Фракталът е свързан с хаоса така, както резултатът с процеса.

Природните фрактали се получават в резултат на някакво итеративно развитие, на генезис в неравновесни дисипативни среди, т.е. среди със загуба на енергия.
Естественият подбор води към определен вид като атрактор.

ТОВА СА ЕФЕКТИ НА САМОРЕГУЛАЦИЯТА.
Чувствителността на тези процеси към стартовите условия и към средата води до невъзможността за детайлно предсказване, винаги има място, макар незначително, на несходство на кристалите, организмите, обществените формации и други резултати на взаимодействие на частиците.
Но и сам динамичният хаос като процес може да има фрактален произход.

Басейните на привличане на много атрактори, както странни, така и обикновени, имат фрактална структура.
Фрактални са не само границите на басейните.
Фрактално преплетени могат да бъдат и самите басейни - те могат да са многослойно, фрактално разбъркани помежду си, могат да бъдат мултифрактали.
И най-малкият дрейф на параметрите на системата довеждат текущото състояние от една област в друга, което води до хаотичност и непредсказуемост на по-нататъшното поведение.
Мащабната инвариантност на фрактала не позволява да го измерим и локализираме в пространството.

Същите свойства са присъщи на атрактора, което го определя като фрактал.








Раждането… възраждането на фракталната геометрия става благодарение на Манделброт.
През 1982г. той публикува "Фракталната геометрия на природата".
Книгата предизвиква фурор в научните среди.


Тя обединява в единна система резултати на Кантор, Поанкаре, Фату, Жулиа, Хаусдорф, Пеано от периода 1875-1925г.


Така между неконтролируемия хаос и строгият ред на Евклид вече има нова зона -
тази на ФРАКТАЛНИЯ РЕД. /еволюция – бележката е моя/










...
Обекти, които днес се наричат фрактали, са открити и изследвани дълго преди появата на самата дума.

През 1872 Карл Вайерщрас открива пример за функция с неинтуитивното свойство да е непрекъсната навсякъде без да е диференцируема никъде (Функция на Вайерщрас). Графиката на тази функция в наши дни би била наречена фрактал.

1883 г. , Георг Кантор дава примери за подмножества на реалната права с необичайни свойства. Тези канторови множества (Прах на Кантор) също днес се определят като фрактали.

Опитвайки се да разберат обекти, подобни на канторовите множества, математици като Константин Каратеодори и Феликс Хаусдорф обобщават интутивната идея за размерност като вклюват и не цели стойности.

Итеративни функции в комплексната равнина са изследвани в края на 19 и началото на 20 век от Анри Поанкаре, Феликс Клайн, Пиер Фату и Гастон Жюлиа.

Без помощта на съвременната компютърна графика, обаче, те не са имали възможността да визулизират откритите от тях обекти.








През 1904 Хелге фон Кох, недоволен от твърде абстрактната и аналитична дефиниция на Вайерщрас, дава по-геометрично определение на подобна функция, която днес се нарича снежинка на Кох.

Идеята за самоподобни криви е доразвита от Пол Пиер Леви.
През 1938 той публикува Равнинни или пространствени криви и повърхнини, състоящи се от части, подобни на цялото, където описва две фрактални криви — C-крива на Леви и драконова крива на Леви.

Луис Фрай Ричардсън е пацифист и математик, изучавал причините за войната между две страни. Той търси зависимостта между размера на общата им граница и вероятността за влизане във война.
За целта изследва как се изменя получената дължина на границата при промяна на единицата за измерване.

Той публикува емпирична статистика, цитирана по-късно от Манделброт. Днес това са част от началото на съвременните изследвания на фракталите.

През 1960-те Беноа Манделброт започва да изследва самоподобността в публикации като - "Колко дълго е крайбрежието на Британия?"
Статистическа самоподобност и дробна размерност. Приемайки силно визуален подход, Манделброт установява връзките между клонове на математиката, несвързвани дотогава.
През 1975 той въвежда думата фрактал, за да опише самоподобните обекти, които нямат ясна размерност.









Ако крайбрежието на Британия се измерва с единица мярка 200-километрова отсечка, като двата края на отсечката едновременно опират в брега. След това отсечката се намалява наполовина и процесът на измерване се повтаря, а след това се намалява на една четвърт от първоначалната. Колкото по-малка е отсечката, толкова по-голям е крайният резултат. Може да се предположи, че тези стойности ще клонят към някакво крайно число, което ще е „реалната“ дължина на крайбрежието, но Ричардсън доказва, че всъщност измерванията на дължината на бреговата линия клонят към безкрайност.

Днес това са част от началото на съвременните изследвания на фракталите.

Беноа Манделбро (роден в Полша, но учил и живял като във Франция, така и в САЩ) обобщава множествата на Жюлиа, работейки в компютърните лаборатории на IBM пръв
- визуализира тези множества,
- открива тъй нареченото множество на Манделбро, познато още като Божия отпечатък;
- и не на последно място открива широко приложение на фракталната геометрия.


Интересно е за гения Манделбро, че до 3-4 клас не е знаел таблицата за умножение, по късно у него се събужда огромен интерес към математиката, и то не към класическата толкова, колкото към тази, която описва сложни и неправилни природни форми, която по-късно се оформя като така наречената фрактална геометрия. Всъщност той дава нейното начало. Манделбро споделя, че с лекота може да вижда какви форми стоят зад сложни алгебрични изрази (което му дава огромно предимство в работата).


Прилагането на компютърна визуализация към фракталната геометрия дава силен визуален аргумент за връзките на фракталната геометрия с далеч по-широки области на математиката и науката, отколкото се е смятало преди това, особено в областта на нелинейната динамика, теорията на хаоса и комплексните системи.
Пример за това е нютоновият фрактал - изобразяване на харакстеристики на решението по метода на Нютон като фрактал, което показва как границите между различните решения са фрактали, а самите решения са странни атрактори.

Фракталната геометрия се използва и при компресиране на данни и моделиране на сложни органични и геоложки системи.











...

Фрактална музика - себеподобие и усещане за безкрайност
Фрактали и музика
Фрактална музика

...

следва продължение:
Раждането на ТОПОЛОГИЯТА и значението й за съвременната математика.
Хилбъртовите проблеми - история на решените и история на тези, които остават нерешени.
Развитие на идеите в съвременната математика до наши дни.




...

Аааа,
гледайте, ако искате и това филмче от поредицата забавни филмчета на Морган Фрийман
"Има ли паралелна вселена - 1? "

"Има ли паралелна вселена - 2? "


/добре, че не се омъжих за физик, въпреки, че много ме привличат :))))), не съм за мъж с такова въображение :) /

...


32 коментара:

Nostromo каза...

Мамма мия! Мисля, че получих мозъчен кръвоизлив. Отивам да се огледам в огледалото на банята за кървави следи в очите.

Ох...

Lammoth каза...

Весели празници, Зеленгорова!
Забавлявай се, а на мен ми остана четенето!

аз имам програма за генериране на фрактали, много й се кефех :) Ще те нарисувам с фрактали :р

Светла каза...

Ностро... :(
Само кажи коя картинка... кои картинки ти избодоха очите и веднага ще ги махна!

п.с.
предлагам ти да се отпуснеш, да си пуснеш музика и да (се) включиш телепатично с моя информационен център :)))))))) Стига приема само през очите! Неправилно разпределяш натоварването! :)

:*

п.с.п.с.
като поотпочините ми кажете, че да давам нататък. обещавам, че натам ще го давам по-разказвателно и ще се въздържам от математически подробности, но точно в тази преходна част около Поанкаре, няма как по-метър да се мине от това :)
Кога беше деня на прошката?
:)))))

Светла каза...

Оли,
и на теб нестихваща веселба ти желая!

От малка си мечтая, някой да ме нарисува, така, че да ме улови някак по-цялостно - фрактално :)))))))

Георги каза...

Едно голямо благодаря! Много го заслужаваш за усилията и знанията ти.

Аз все още не съм го прочел, до към средата съм, но докъдето четох много разбираемо е написано, даже се учудих, че си успяла да го направиш толкова разбираемо.

Приятно изкарване на празниците!

Светла каза...

Георги,
мечтая си физиката да съумее да събере науките - науката, която е единна по природа и изкуствено разединена от човеци,
но много пари се наляха в нея... с много и различни "интереси" се обвърза и положението хич не е розово.
Гледам и с генетиката, микробиологията, химията... става същото мазало,
но има надежда.

Много й куца Метафизиката на физиката...
Днес има 10 на 400 степен видове физични теории и хипотези...

Къде са "независимите" движещи науката физици - философи, тези благодарения на които имаме малкото стабилност на днешното знание?

Не може без глобален - системен МЕТА анализ да има идея за единна картина на света / вселената... системата от вселени.../
как раздробено, обезсмислено от системна принадлежност парцелирано знание може да изгради единна смислена парадигма?

Иска ми се... вярвам, че ще се появи Хилбъртовия еквивалент във физиката, както и еквивалента на всичките други невероятни мета - математици - философи, за които ще разкажа.


п.с.

Весели празници и на теб !

Георги каза...

Една надежда са независимите учени (scholars). Има ги още Алвин Тофлър е от тях. Посветил е живота си на проучванията си и не е бил част от институция. Нещо като самоиздържащите се начинаещи хора на изкуството.

А от икономиката (силно политизирана наука) знам за пример за такъв известен учен философ обърнал се към духовното (даоизма).

Има една приказка, че в най тъмните времена светлината свети най-ярко.

Светла каза...

Лий Смолин - Как науката прилича на демокрацията



"Криза във фундаменталната физика" - Лий Смолин



Призивът за философска обосновка на фундаменталната физика започва да се споделя от все повече физици.

Не може да има наука,която претендира за научна достоверност и която е избутала настрани най-фундаменталната си органела - МЕТА(себе)анализът си.

Няма как да се създадат интегративни теории, които да не отговарят на критерия да са детерминирано хаотични /понятието си е мое/ - системни.

Ние можем да разединяваме изкуствено, мислено, абстрактно... "парчета картини свят", но това не означава,
че можем в действителност да "разпокъсваме" света, за да "го принудим" да отговаря на нашата неспособност да го виждаме в неговата цялостност, в негоеата еволюираща кръговратност и в неговата взаимосвързана непрекъснатост.

Светла каза...

Емпиризмът е средство, така както инструментите, машините и всички видове уреди са средства.
Самоцелното използване на емпиризма може да се наподоби на подробното описание и наименоване на частичките на часовник, които обаче никой не знае как и дали въобще могат да бъдат сглобени, така, че да създадът работещият механизъм /часовник/, за чиито цели са били подробно разгледани, описани и наименовани.

Такъв изваден от контекста на цялото подход проповядва абсурда, че човешкото познание е лишено от първично познание за природата, независимо, че е част /и то съществена/ от нея.

Една наука, изтъквайки експерименталната дейност като единствен източник на познание до голяма степен елиминира съществената и основна роля на съзнанието като единственият източник на анализ на тези данни, който анализ оформя теоретичните парадигми.

Уредите, сами по себе си, дори и да систематизират данни, не ги подреждат в логическа система от идеи.

И най-мощните компютри са преди всичко средства и инструменти, които работят с програми създадени и измислени от хората, за да систематизират и обработват данни... но МЕТА - АНАЛИЗА, МЕТА - СИСТЕМАТИЗИРАНЕТО си остава единствен приоритет на човек /човешкият мозък./

Няма машина, която мери нещо, каквото и да е то, по колкото и сложен начин да го прави, без да покаже резултат, който на свой ред,
ЕДИНСТВЕН ЧОВЕКЪТ ПОДРЕЖДА В НЯКАКВА ПАРАДИГМА.

Светла каза...

В желанието си да избягаме от уникалната и системноважна природа на човешкото мислене, че е субективно,
създадохме едно раздробено на хиляди субективни частици разединено знание, със съмнителна стойност и неясна, блатиста основа.

Може би е време да преосмислим наново ролята на човека... в и за науката.

Изкуственото "ампотиране" на субективното, на човешкото, от ПРОЦЕСЪТ на опознаването на света, който на свой ред, е преди всичко и единствено човешки продукт /говоря за това на земята. към момента наличието на извънземен разум съвсем не ни е в проблемите на дневен ред :)/
пречи на обединяването на знанието в единна системна картина за света.

Тук психологията може изненадващо адекватно да удари едно рамо на физиката. Биологията и химията, също държат други основни подпори.

Светла каза...

И който, каквото и да ми разправя,
без да тръгнем по посока

изучаването на СПЕЦИФИЧНАТА ПРИРОДА на СИСТЕМИТЕ -

видове; начини на организация и работа; вътрешни и междусистемни взаимодействия;

за да използваме това познание като КАНАВА, в което да вплетем постепенно пъзелът от разпиляни парчета на достигнато познание от всички други области,

без да тръгнем по посока да ДЕФИНИРАМЕ и ПОПОДРЕДИМ /колкото - толкова... някак :))))))/
макар и "оскъдно" в началото,

понятия, които се прокрадват в разлчини сфери под различни имена като (основни напр.):

"комуникация"; "информация"; ИС - ми; "сигнал" - "импулс" - цифров, аналогов, преобразовател; език - дигитален и аналогов; "приемник" - "предавател" - "проводник";
кодиране на инфорнация;
криптология и т.н и т.н.

вероятността да разберем нещо за вселенските закономерности, както и за позиционирането ни (на човекът и природата на земята като цяло) в целенасоченото, детерминирано, едновременно с което - хаотично (с кръгове на обратна връзка) движение на "енерго-материята" /понятието си е мое :)/,

ми се струва статистически нищожна,
пък камо ли вероятността да „сглобим” някаква картина на света, още повече такава, каквато най-вероятно е – многоизмерна.

Светла каза...

Всичко във видимият и невидимият свят, е организирано чрез специфична система от динамични връзки (свързаност), макар и невидими, макар и считани към момента за "изключително слаби", поради което за неуловими.

И макар че, хипотетично можем да разглеждаме "света" "статично", това до голяма степен ни обрича на системна слепота по отношение на това как си взаимодействат елементите, от които е изграден, за да работи цялото, така че да можем да го регистрираме като общ механизъм от поглед "от горе".

Разбира се, ако живееш в микроскопично "зъбчато колело" на гигантски часовник, ще ти е много по-лесно да описваш и изучаваш "вдлъбнатинките" по материята, от която е направено колелото, отколкото да се опитваш по "единицата"/елемента/ да (съдиш, предполагаш)и добиваш представа за цялото.

Светла каза...

Ами ако "силите", които днес, за нас са невидими, са просто различно от досегашното ни познание енергийни, ако са толкова "високо енергийни", че да са към момента неуловими от уредите, които сме създали до този момент?

Ако съществуват енергийни нива, които все още не сме регистрирали, поради което не сме и проучили?

Как можем да тръгнем да изследваме нещо, ако не развием предположения, идеи... връзки, ако не се отдадем на най-очарователната човешка способност да търсим и опознаваме неизвестното?

Светла каза...

Георги,
има вероятност, двамата с теб да сме патологични оптимисти и за това да (си) вярваме, че има оправия :)))))

Сега като се замисля, нямам видими основания, да се имам целомъдрена, а си вярвах, че съм :))))))

Извън самозахапванията, с които гледам да се самогъделичкам, щото въобще не ми е до смях,
се радвам, че поне математиката е на вселенско ниво... значи градивен материал си има...

Съзидателността на творческият ни потенциал, а дано да се събуди о време,
че
идването, респ. неидването на краят на света,
въобще ми се струва незначителен проблем,
в сравнение с психозите, които сме в състояние да създадем и да превърнем в "самоизпълняващи се предсказания".


:)

Наздраве!
Да пием и да забравим за световните си проблеми, за малко поне :)

Георги каза...

А стига бе, дори не подозирах какво влияние върху обществото има физиката (от видеото). Вярно, че е една от основополагащите науки, но до сега мислех, че други области имат по-голямо влияние върху обществото. Още по ясно ми стана като говориш за интеграция. То и аз мислех така, но не мислех, че разделението е толкова голямо.

За статията, то и аз го забелязвах това с фабрикуването на математически истини и реалности в приложната математика (не говоря за чистата, за която ти пишеш).

Относно науката като демокрация, вярно има си недостатъци, но то така си действа открай време, бая бой хвърлят някои хора да докажат истината.

По темата имам два любими цитата, които пиша по памет:

"Науката е просто по-добър начин на мислене за нещата" и "Не се вторачвайте в отговорите на големите умове, а във въпросите, които са си задавали"

Наздраве!

Nightwish El каза...

Ей, Светле!
Лелеееййй - признавам си, че гледах само картинките!
Този тороидален атрактор направо ще го изрисувам на тавана в банята! :)))

За много годинииии!

Светла каза...

За мноооого години, Ел!

Нямаш идея колко мислих какви текстове да подбера за тия картинки, така, че да не им пречат много :)))))))

и се радвам, че съм успяла :)

Подарявам ти още вдъхновение за другите тавани,
реални атрактори, от всичките видове:)

Радост е за мен да опосредствам твое вдъхновение :)

Ето тези шедьоври на Ешер
от знаменитата му серия - Circle Limit (гранична окръжност)

е повлияна именно от модела на Поанкаре.
Дори думата "повлияна" е неточна - Ешер е изучавал с детайли модела, включително и с помощта на известния математик Кокстер. Рисунките са правени след внимателни пресмятания на базата на този модел.

И въпреки това, Ешер винаги е твърдял, че не разбира от математика :)
За какво му е да я разбира, щом така съвършено и магично я танцува?
:)

Наздраве, мила!

limitednickname каза...

Алеле Светла... божествена си...

Моля за разрешение възторжено да те съзерцавам с огромни очи, в които блести тихичката възхита на завладян от магическа омая пубер :Р

ЧНГ!

limitednickname каза...

Може ли, след като прочетох всичко много внимателно, да изкопирам част от един мой стар коментар, поставен с треперещи пръсти, след преодоляване на параноята да не би така нареченият ти блог всъщност да е един пошъл и нечист конгломерат от тръстове на интелектуално-въпиющи вампири, преди мноооооого много месеци назад, а именно:

"...Какво е всъщност действителността?
Не е ли просто колапс на вероятностната вълна на квантовото състояние на най-дребните частици, които всъщност дори не са частици, а квантови вълни? И какво всъщност е човешкият разум, ако не обикновен интерферометър, отразяващ мястото на колапсиране на същите тези вълни? Ако вероятностната вълна е безкрайна и най-малките частици не са точки, а някакви едноизмерни (това е трудно да си го представи човек) нещица, които трептят нещоси там (най-модерните струнни и суперструнна теория - от десетина години набират сила), значи на нещата изобщо не им дреме за физическите закони, стига да опират до... вълни.
А човешкият разум е... вълна..."

Сега доуточнявам, че според мен чисто и просто продължаваме с науките все по-нататък да се опитваме да напипаме истината и накрая (аз все повече категорично се уверявам в това) ще си стигнем до извода, че просто мисълта поражда материалните проявления на нещата, а математическото изражение на това е:

мисъл=мисъл/действителност=>действителност=1

В смисъл: не мисълта, а действителността следва да се разглежда като елементарната даденост. Слънчевата система е изключително, съвършено и неизискващодоказванесамапосебеси стабилна система, не за друго, а защото е налице като краен резултат на развитието на всички възможни варианти на преливания към един или друг атракторен (моя си дума :Р) басейн или изобщо като постигнат баланс въпреки чувствителността й към началните условия. Доказателство за постигнатия баланс и изобщо за наличието на тази система като някакъв резултат, е фактът, че мога да кажа съвсем ясно думата "леблебия". Ето така поставям край на споровете с дори на най-върлите абстракционисти, които биха опонирали, че не е сигурно дали е налице слънчевата система и изобщо дали всичко, което сега се случва е действителност - мога ли да кажа "леблебия"? - мога! - значи за някакъв си период от "време" ли е, "пространство" ли е, нещо "имагинерно" ли е, стабилността и реалността си е налице - слънчевата система си я има тук и сега и - аре довиждане - тя е основата на задачката. Единица. Действителността е единица. Отговорът на въпроса за живота, вселената и всичко останало може и да е 42, но действителността е единица.

limitednickname каза...

И понеже има риск да остана недоразбран, както обикновено се случва със споделилите най-съкровените научни истини люде, ще доуточня, за да се изрази математически стабилното движение на система от три влияещи си гравитационно тела, че и повече дори, просто трябва да се наблюдава и докладва достатъчно дълго движението на телата в Слънчевата система. Моля, ако това се окаже някакво откритие, което в бъдните години ще преобладава в научните литератури, заслугата ми да бъде забелязана и възнаградена, че не съм виждал Созопол от 6 години, а казват, че се е променил към лошо, но колко пък към лошо може да се е променил...

Светла каза...

Санде,
радвам се, че съм подтикнала толкава силното ти инкубиране на прозрения.
Това е идеята на цикъла ми "Наука на биричка".
Следващата ми стъпка е да вплета "основи във физиката" атома като система от елементарни частици, после да мина към клетката и системите, които клетките изграждат.Т.е да прибава към картината - биологията - ДНК, РНК, невронна мрежа, мозък ... ей тия... докато продължавам с математиката.

Всичко ще движа успоредно, за да могат, тия дето четат да усетят как всичко е единно и се вплита едно в друго.

Светла каза...

Относно прозренията ти...
Страхувам се, че ще те разочаровам... ще трябва да измислиш по-прост начин да видиш Созопол, така ми се струва, а и през зимата, не е кой знае какво - виждала съм го и за това ти ги разправям тия неща :))))

След като си прочел внимателно си разбрал до какви изводи всъщност стига Поанкаре.
Той точно това прави - доказва, че, за да може да се "реши", така нарчечената задача "за трите тела" трябва да се изследва "цикличността" съответно закономерността в поведението на системата.
Това е едно "начало" в мисленето изобщо, което предизвиква мощни процеси, които се развиват и продължават да набират скорост в наши дни и са свързани най-вече с това, че вече науката повсеместно, в почти всички основни области осъзнава системността на явленията, чийто предмет изучава.

Но за всичко това ще разкажа подробно, стъпка по стъпка как се случва, как се развиват идеите и как основополагат най-важните съвременни теории не само в математиката, но и във всички области, които стъпват на нея и я използват за основен инструмент.

Един вид искам да ти кажа...
Прозренията ти... посоката ти на мислене, е в съзвучие с научните тенденции, но много хора и то масово стигат до подобни заключения :)

Което е радостно, поне за мен... защото нарцистичната радост от откривателството на "топлата вода" няма никаква системна стойност, докато масовото събуждане на много умове е процесът, който съм убедена, че не само набира скорост, но и би трябвало да стане приоритетен, за да "пооправим" белите, дето сме навършили с планета си; да опитаме да предовратим пораженията, които бихме могли да причиним на вида си; както и на биологичното единство въобще; и да отворим чувствителността си към вселенските закони, за да потърсим съвместимост и съзвучие с тях.

Светла каза...

Все пак,
ако имаш амбиции, сили и мечти,
има мъничко нещица останали, заради които дават 1 милион долара.
Едно от тях е играта около Хипотезата на Риман.
Мисля, че все още, въпреки огромния напредък остава не напълно решена задача от алгебричната теория на числата, свързана със свойствата на Римановата ζ-функция и разпределението на простите числа - загадката на "простите числа".

Аз ще посветя пост специално за това.
Както и въобще не съм свършила с математичните постове, аз даже и разказа за Поанкаре не съм довършила, щото поста стана и без това дълъг - реших да го разделя на две.
Тепърва ще разкажа много математични супер любопитни истории, както и ще проследя появата и развитието на основните математични теории.


Във физиката, биологията, химията... няма да дадат пукнат лев, без хипер ясни доказателства, емпирично доставени.

Изхитриха се гадовете, щото тооолкова много хора развиха невероятното си въображение, че ако за това почнеха да раздават кинти, на планета щеше да има повече милионери, отколкото умиращи от глад, атова както сам се сещаш - нема как да стане :)

Светла каза...

Изчисляването на „нулите по правата” от „Римановата хипотеза ” . Чрез съвременни мощни компютри се изчисляват нулите по правата, но това се оказва, че не е пътят за доказване на „хипотезата на Риман”, защото компютърът не може сам по себе си да ни помогне да разберем безкрайността. Никой не знае какво може да се случи „далеч” в математическата вселена… там може да се крие някоя чудата нула изпаднала от правата. Не може да се изчисли никое безкрайно число. Като потвърждение на хипотезата на Риман, компютърът може само – да … до тази точка, всички нули са на критичната права, но понеже те са безкрайно число и тази закономерност трябва да важи за безброй от тях, ако спреш края, значи не си изчислил и безброй решения. Така математиците на 20 век, постепенно осъзнават, че са в задънена улица в опитите за търсене на доказателство на римановата хипотеза по този път. През 70 г. настъпва голям пробив в загадката на простите числа и той идва от най-неочакваната посока. За разлика от предшествениците си, математикът Хю Монтгомъри проверява не ДАЛИ, а КАК точно се появяват нулите в правата на Риман. И прави зашеметяващо откритие. Открива, че интервалите между тях, относително рядко са малки, все едно нулите се опитват да се отблъснат помежду си. Той казва, че сякаш между двойките нули има закачени пружини, които се свиват и разтягат и ако ги разбуташ, тръгват напред- назад. Може да се направи „снимка” в даден момент, а после някои от тях все едно се разместват нагоре – надолу,но не се срещат твърде близко и прекалено често.

Светла каза...

Забелязват, че нулите не са твърде близко една до друга, сякаш се отблъскват ако ги сложиш в редица. Виждаш, че между тях има интервали. А ако вземеш произволни точки, те са скупчени или на големи интервали. Монтгомъри казва, че е бил с чувството, че сякаш вижда в това някакво послание. Когато за пръв път разкрива тази картина, той е малко объркан, защото не разбира какво е посланието. На един следобеден чай в клуба на университета, Монтгомъри се запозава с известния квантов физик Фриман Дайсън. В разговор около това, кой от двамата, над какво работи, изслушвайки Монтгомъри, който му разказва за наблюденията си върху разстоянията между нулите, Дайсън изведнъж възкликва, че плътността им е като тази, на двойките енергийни стойности в теорията на случайните матрици. Физиците изучават теорията на случайните матрици, за да създадат статистически модел за енергийните нива на възбудените елементарни частици. Ако се проучват няколко частици, можем да разберем как си взаимодействат,но когато наблюдаваме хиляди частици и се цели да се разберат енергийните им нива, се започва експериментиране и описване на нивата в таблици. След което се изследва каква графика се получава от статистиката на енергийните нива. Това използват математиците , за да моделират енергийните нива. В ядрата на тежките атоми от типа на урана, енергийните нива в атомното ядро могат да се оприличат на нотите, изсвирени от музикален инструмент.
Ако се свири на тромпет напр. с повече енергия, нотите се „качват” нагоре. Атомното ядро е подобно на тромпета. Колкото е по-възбудено, толкова по-силни са вибрациите в него. Също като нотите от тромпета.

Светла каза...

Физиците откриват, че енергийните нива на урановият атом са отделени по еднороден начин също като нулите в Римановата права. Енергийните нива привидно са подредени съвсем правилно, но с елемент на случайност. Рядко се случват две нива едно до друго, или такива на големи интервали. Но има известно колебание има някаква средна честота на поява. Въпрос на статистика, но специфична статистика с много точни предвиждания, които ядрата следват. Откритата от Монгомъри формула, призната и от Дайсън сочи, че вероятно това, което важи за енергийните нива, важи и за „римановите нули”. Че поведението на атомите, градивните частици на материята, вероятно е свързано с поведението на простите числа – градивните частици на математиката. Връзката, която разкриват е напълно неочаквана, но дава чисто нов подход към Римановата хипотеза. Връзката, която правят Монгомъри и Дайсън е извънредно интригуваща и привлича физиците да изучават Римановата хипотеза, което на своя страна води до нови вълнуващи проучвания, които иначе нямаше да се състоят.

Светла каза...

В днешно време се правят връзки между съвсем различни сфери и то по специален начин – така наречените интегративни теории и методи. Във всички научни области все повече учените осъзнават, че обекти, които са считани от зората на науката за отделни, са неразривно свързани.

Тепърва ще откриваме отговори на най- новите в науката въпроси – системните такива – като напр. вече разисквания от мен :
Защо трябва поведението на математическите атоми да има толкова общо с поведението на физическите атоми. И как това разкритие ни помага да разберем по-дълбоко природата (ни).

Вероятно е тъкмо ядрената физика да осветли загадката на простите числа. Възможно е нулите от правата на Риман, да имат невъобразими енергийни нива, недопустими до сега от законите на ядрената физика.
Днес загадъчната природа на простите числа е и обект на използване и изучаване и в света на електронните комуникациите.
Кодирането и декодирането на кредитните карти е механизъм всързан изключително със специфичните свойства на непредвидеността на простите числа.

Ако успееш да „разбиеш” римановата хипотеза, ще си подсигуриш 1 милион долара :)

limitednickname каза...

О, ама Светла... :) Ти ме провокираш да изуча висшата математика, мотивираш ме дори, криле ми даваш, що за създание си ти, реално ли или прашец наелектризиран в девствената виртуална тъкан?

Изпитваш ме дали на глас ще кажа най-очакваното и логично простовато изявление, че не един милион (долара) имах предвид като очаквана печалба, а приятно и уютно настроение в компанията на биричка вдясно от мишката (--- а това за "наука на биричка" имам чувството че си го сложила от вчера!), а помежду другото и с твоя помощ да разгадаем кода на нещата на... таковата - е, казах го. Новото и несподелено завчера от мен сега е, че фракталната музика си е чиста проба добрата стара гоа (сайкъделик) транс и й липсва само здрав бийт, за да си разклатиш главата, ако ще и да ненавиждаш електронната музика, ако ще и с глас да я изпсуваш дори (донейде основателно), нещо таквоз ще да е положението и на онази редица с нулите и съмнителните й конспиративно-умишлени прекъсвания, дето наподобявали природата на атомите, а, и - долових - според теб - и подредбата на гените в ДНК-то и РНК-то, а аз бих добавил - ... ъъъ... и малко такова де - ритъм нагнетен от звучен тъпан внеравноделен размер.

Обаче ;)
Ми е нужно малко технологично време, за да наваксам с науките и да "оборя" тезата ти, че обикновеното СРЕДНОСТАТИСТИЧЕСКО развито въображение е недостатъчно, за да се постигнат целите на... всъщност кой поставя целите?
Джаскай прозренията в матрицата и ако не стигат, дай пак тон, освен ако не си сериозна за проблемите на простите числа - тогава ще трябва да ме изчакаш около 250 години да наваксам с дотукашните науки (сериозен съм).

След скрипта, в иносказателен стил, разходката в Созопол си е четристин и педесе кинта, не повече, кви милиони кви пет лева?

И да беше ми отговорила още при парадокса на Нюкомб, тайните на Вселената досега да се беха изучавали у първи клас, по методологията на Химбелдербентрегертсон :Р

limitednickname каза...

Иначе за Римановата хипотеза имаш 50% за информацията...

limitednickname каза...

Да бе верно ли не помниш, че съм споменавал филма, едно "дето ти спомена филма по нея" да беше написала, и кви са тия вметки за следенета, и къв е тоя бизнесмен, дето дава парите, аз за Нобелова награда мислех че се ебаваш?

Светла каза...

Санде,
пак прещрака :))))))
Къв филм, кви пет лева?
Това за параноята е изречение от пиесата ми, дето много си ги обичам и ми се стори забавно да ти го споделя.

Нобелова награда по математика не раздават. Слуховете свързани с този феномен се въртят около жената на Нобел... злите езици говорят, че му е слагала рога с математик :)))))

Да, има еквивалент на Нобеловата награда по математика и то е "Филдсофската награда"

Медалът Филдс, наречен на името на изключителния канадски учен Джон Чарлз Филдс /1863-1932 г./ представлява най-висшата награда на Световния конгрес на математиците. Тя се присъжда веднъж на 4 години на учени под 40-годишна възраст за изключителни открития в областта на математическите науки.
нерешимите математически задачи за, решението на които Математическия институт в Клей, Масачусетс (Clay Mathematics Institute in Massachusetts) дава награда от 1 милион долара.

Римановата хипотеза е почти доказана, както вече споменах и мислех подробно да разкажа за това в отделен пост, защото освен, че е интересно допълва представата ни за картината ни за света.
Загадката на простите числа тормози човешкият ум от векова.
Гауст е първият, който открива закономерност, която обаче, приживе не издава официално, тъй като не можел да я докаже, а той бил невероятен перфекционист и не искал да споделя със света "недовършена сграда, скована още само чрез скеле".
Идеите му обаче, биват развити от неговия ученик - Риман, чрез работата му по така известната формула, наречена - "Дзета функция". На всичкото отгоре, Риман публикува своята хипотеза, защото бил колеблив да сподели идеите си, които още нямали неоспорими доказателства. Една гавра на съдбата, прави обаче историята на математиката, още по-интересна. Чистачката му, при разтребване, изгаря огромна част от бележките му, разхвърляни на по отделни листи. има достатъчно исторически основания, да се предполага, че в тях е имало много повече разработки около хипотезата му, които той се въздържал да сподели със света и да публикува.
По -късно Голфри Харди допринася за доказването на хипотезата на Риман. Покрай Харди и благодарение на странната му съдба, се появява един самобитен математически гений, който дори няма начално образование, но е един от най-великите математици на века си - ин
диецът Раманужан.
Той допринася много за потвърждаването на Римановеата хипотеза. Бил е ненормално запленен от простите числа.


...
казах вече, някой ден ще разкажа подробно за това...
та идеята е, че
хипотезата може да бъде "доказана", само ако може да бъде "оборена".
Парадоксално нали?
:)

Знам, че някакъв милионер е обявил награда, т.е финансира наградата, ако бъде оборена хипотезата на Риман, но нито знам как се казва и не знам повече подробности от това.

В следващия пост ще разкажа за Перелман, който довършва топологичните идеи на Поанкаре, но който е един от най-големите чешити в математиката.

limitednickname каза...

Еха, даже филмчето за "Летящият Честмир" с вълшебните растения не ме е прехласвало толкова като малък, както ти и всичките приказки твои сега :)))) Римановата - ще я оборим и после докажем, а накрая и ще делим, както вече обещах ;) Имаме осем човешки години и малко - достатъчно дори за най-простите числа!
Ура ура ура! Половин милион гущерчета ин да покет, уха-ха! Ам гона драйв с 280 по Цариградско по цел ден, а после може и с Шестицата по Сливница!
"Пак прещрака" хахаха :))))

Публикуване на коментар